Calcolo Esempi

$y = \frac{3}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{3}{x^{2} - 9}$ come funzione.

$f (x) = \frac{3}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{x^{2} - 9}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 9}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 9})$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} - 9}$ come ${(x^{2} - 9)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 9)}^{- 1})$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = 3 (- {(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = - 3 ({(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Passaggio 2.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))$

Passaggio 2.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))$

Passaggio 2.1.3.4

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + 0)$

Passaggio 2.1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 2.1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 9)}^{- 2} x$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 6 \frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

Passaggio 2.1.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

$- 6$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 6}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

Passaggio 2.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

Passaggio 2.1.5.3

$x$ e $\frac{6}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.5.4

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = - \frac{6 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{6 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica ${(x^{2} - 9)}^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.2

Scomponi $x^{2} - 9$ da ${(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Scomponi $x^{2} - 9$ da ${(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.2.2

Scomponi $x^{2} - 9$ da $- 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.2.3

Scomponi $x^{2} - 9$ da $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 2.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Scomponi $x^{2} - 9$ da ${(x^{2} - 9)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.9

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.14

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.16

$- 6$ e $\frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{(6) (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.18.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.18.2.1

Moltiplica $- 3$ per $6$ .

$f'' (x) = - \frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.18.2.2

Moltiplica $6$ per $- 9$ .

$f'' (x) = - \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 18 x^{2} - 54 = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Somma $54$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 18 x^{2} = 54$

Passaggio 3.3.2

Dividi per $- 18$ ciascun termine in $- 18 x^{2} = 54$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividi per $- 18$ ciascun termine in $- 18 x^{2} = 54$ .

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{54}{- 18}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{54}{- 18}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{54}{- 18}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Dividi $54$ per $- 18$ .

$x^{2} = - 3$

Passaggio 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Passaggio 3.3.4.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.4.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 4

Non è stato trovato alcun valore in grado di rendere la derivata seconda uguale a $0$ .

Nessun punto di flesso