Calcolo Esempi

$y = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$

Passaggio 1

Scrivi $y = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ come funzione.

$f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{6}) + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{6}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{6} + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$f' (x) = - (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{5}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $5$ per $6$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 2.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Poiché $13$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $13$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 + 0$

Passaggio 2.1.5.2

Somma $- 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$ e $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f'' (x) = - 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $5$ per $- 6$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $30 x^{4}$ rispetto a $x$ è $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 30 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $4$ per $30$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3} + 0$

Passaggio 2.2.4.2

Somma $- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ .

$- 30 x^{4} + 120 x^{3}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 30 x^{4} + 120 x^{3} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 30 x^{4} + 120 x^{3} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $- 30 x^{3}$ da $- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $- 30 x^{3}$ da $- 30 x^{4}$ .

$- 30 x^{3} x + 120 x^{3} = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $- 30 x^{3}$ da $120 x^{3}$ .

$- 30 x^{3} x - 30 x^{3} \cdot - 4 = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $- 30 x^{3}$ da $- 30 x^{3} (x) - 30 x^{3} (- 4)$ .

$- 30 x^{3} (x - 4) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $x^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 30 x^{3} (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, 4$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - {(0)}^{6} + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - 0 + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 13$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 6 \cdot 0 + 13$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 13$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 13$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 13$

Passaggio 4.1.2.2.3

Somma $0$ e $13$ .

$f (0) = 13$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $13$ .

$13$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ è $(0, 13)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 13)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $4$ in $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = - {(4)}^{6} + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $6$ .

$f (4) = - 1 \cdot 4096 + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4096$ .

$f (4) = - 4096 + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$f (4) = - 4096 + 6 \cdot 1024 - 6 \cdot 4 + 13$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $6$ per $1024$ .

$f (4) = - 4096 + 6144 - 6 \cdot 4 + 13$

Passaggio 4.3.2.1.5

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$f (4) = - 4096 + 6144 - 24 + 13$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Somma $- 4096$ e $6144$ .

$f (4) = 2048 - 24 + 13$

Passaggio 4.3.2.2.2

Sottrai $24$ da $2048$ .

$f (4) = 2024 + 13$

Passaggio 4.3.2.2.3

Somma $2024$ e $13$ .

$f (4) = 2037$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $2037$ .

$2037$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $4$ in $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ è $(4, 2037)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(4, 2037)$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 13), (4, 2037)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = - 30 {(- 0.1)}^{4} + 120 {(- 0.1)}^{3}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 0.1) = - 30 \cdot 0.0001 + 120 {(- 0.1)}^{3}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 30$ per $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 120 {(- 0.1)}^{3}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 120 \cdot - 0.001$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $120$ per $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.12$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $0.12$ da $- 0.003$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.123$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.123$ .

$- 0.123$

Passaggio 6.3

Per $- 0.1$ , la derivata seconda è $- 0.123$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 4)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = - 30 {(2)}^{4} + 120 {(2)}^{3}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f'' (2) = - 30 \cdot 16 + 120 {(2)}^{3}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 30$ per $16$ .

$f'' (2) = - 480 + 120 {(2)}^{3}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (2) = - 480 + 120 \cdot 8$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $120$ per $8$ .

$f'' (2) = - 480 + 960$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 480$ e $960$ .

$f'' (2) = 480$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $480$ .

$480$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $2$ , la derivata seconda è $480$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, 4)$ .

Crescente su $(0, 4)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4.1$ nell'espressione.

$f'' (4.1) = - 30 {(4.1)}^{4} + 120 {(4.1)}^{3}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $4.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (4.1) = - 30 \cdot 282.5761 + 120 {(4.1)}^{3}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 30$ per $282.5761$ .

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 120 {(4.1)}^{3}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $4.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 120 \cdot 68.921$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $120$ per $68.921$ .

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 8270.52$

Passaggio 8.2.2

Somma $- 8477.283$ e $8270.52$ .

$f'' (4.1) = - 206.763$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 206.763$ .

$- 206.763$

Passaggio 8.3

Per $4.1$ , la derivata seconda è $- 206.763$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(4, \infty)$ .

Decrescente su $(4, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 13), (4, 2037)$ .

$(0, 13), (4, 2037)$

Passaggio 10