Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{2} + 6 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$24 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$24 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$24 x + 6 + 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $24 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 x + 6$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $24 x + 6$ .

$24 x + 6$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $24 x + 6 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$24 x + 6 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$24 x = - 6$

Passaggio 2.3

Dividi per $24$ ciascun termine in $24 x = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $24$ ciascun termine in $24 x = - 6$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{- 6}{24}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{24 x}{24} = \frac{- 6}{24}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 6}{24}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $6$ da $- 6$ .

$x = \frac{6 (- 1)}{24}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $6$ da $24$ .

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 4}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 4}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{4}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- \frac{1}{4}$ in $f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 {(- \frac{1}{4})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{4^{3}})) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (- \frac{1}{4^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.4

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (- \frac{1}{64}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{64}$ nel numeratore.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (\frac{- 1}{64}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.5.2

Scomponi $4$ da $64$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (\frac{- 1}{4 (16)}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (\frac{- 1}{4 \cdot 16}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 1}{16} + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.7

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (1 (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.9

Moltiplica $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (\frac{1^{2}}{4^{2}}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (\frac{1}{4^{2}}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.11

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (\frac{1}{16}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.12

$3$ e $\frac{1}{16}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} - 6 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.13

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.13.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} - 6 (\frac{- 1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.13.2

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 2 (- 3) (\frac{- 1}{4})$

Passaggio 3.1.2.1.13.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 2 \cdot (- 3 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

Passaggio 3.1.2.1.13.4

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 2 \cdot (- 3 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

Passaggio 3.1.2.1.13.5

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} - 3 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.14

$- 3$ e $\frac{- 1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Passaggio 3.1.2.1.15

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{3}{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 1 + 3}{16} + \frac{3}{2}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $- 1$ e $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2}{16} + \frac{3}{2}$

Passaggio 3.1.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2 (1)}{16} + \frac{3}{2}$

Passaggio 3.1.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{3}{2}$

Passaggio 3.1.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{3}{2}$

Passaggio 3.1.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3}{2}$

Passaggio 3.1.2.3

Per scrivere $\frac{3}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.1.2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3 \cdot 4}{8}$

Passaggio 3.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1 + 3 \cdot 4}{8}$

Passaggio 3.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1 + 12}{8}$

Passaggio 3.1.2.6.2

Somma $1$ e $12$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{13}{8}$

Passaggio 3.1.2.7

La risposta finale è $\frac{13}{8}$ .

$\frac{13}{8}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $- \frac{1}{4}$ in $f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ è $(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{1}{4}) \cup (- \frac{1}{4}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{1}{4})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.35$ nell'espressione.

$f'' (- 0.35) = 24 (- 0.35) + 6$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $24$ per $- 0.35$ .

$f'' (- 0.35) = - 8.4 + 6$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 8.4$ e $6$ .

$f'' (- 0.35) = - 2.4$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 2.4$ .

$- 2.4$

Passaggio 5.3

Per $- 0.35$ , la derivata seconda è $- 2.4$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - \frac{1}{4})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{1}{4})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{1}{4}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.15$ nell'espressione.

$f'' (- 0.15) = 24 (- 0.15) + 6$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $24$ per $- 0.15$ .

$f'' (- 0.15) = - 3.6 + 6$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 3.6$ e $6$ .

$f'' (- 0.15) = 2.4$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $2.4$ .

$2.4$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 0.15$ , la derivata seconda è $2.4$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \frac{1}{4}, \infty)$ .

Crescente su $(- \frac{1}{4}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$ .

$(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$

Passaggio 8