Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{3}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (32)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $2$ per $24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (32)$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $32$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48 x^{2}$ rispetto a $x$ è $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} (48 x)$

Passaggio 1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48 x$ rispetto a $x$ è $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48 \cdot 1$

Passaggio 1.2.4.3

Moltiplica $48$ per $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $36 x^{2} + 96 x + 48$ .

$36 x^{2} + 96 x + 48$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $36 x^{2} + 96 x + 48 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$36 x^{2} + 96 x + 48 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $12$ da $36 x^{2} + 96 x + 48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $12$ da $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) + 96 x + 48 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $12$ da $96 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (8 x) + 48 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $12$ da $48$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (8 x) + 12 (4) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $12$ da $12 (3 x^{2}) + 12 (8 x)$ .

$12 (3 x^{2} + 8 x) + 12 (4) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $12$ da $12 (3 x^{2} + 8 x) + 12 (4)$ .

$12 (3 x^{2} + 8 x + 4) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ e la cui somma è $b = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$12 (3 x^{2} + 8 (x) + 4) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Riscrivi $8$ come $2$ più $6$ .

$12 (3 x^{2} + (2 + 6) x + 4) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$12 (3 x^{2} + 2 x + 6 x + 4) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$12 ((3 x^{2} + 2 x) + 6 x + 4) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$12 (x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 2$ .

$12 ((3 x + 2) (x + 2)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$12 (3 x + 2) (x + 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $3 x + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 2$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{3}$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 (3 x + 2) (x + 2) = 0$ vera.

$x = - \frac{2}{3}, - 2$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- \frac{2}{3}$ in $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{2}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{2^{4}}{3^{4}}$ per $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.6.1

Scomponi $3$ da $81$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}})) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{2^{3}}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.9

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{8}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.10

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{8}{27}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.11

Moltiplica $16 (- \frac{8}{27})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.11.1

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 16 (\frac{8}{27}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.11.2

$- 16$ e $\frac{8}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 16 \cdot 8}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.11.3

Moltiplica $- 16$ per $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 128}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.13

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.13.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 32$

Passaggio 3.1.2.1.13.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 32$

Passaggio 3.1.2.1.14

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 32$

Passaggio 3.1.2.1.15

Moltiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 32$

Passaggio 3.1.2.1.16

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{4}{3^{2}}) + 32$

Passaggio 3.1.2.1.17

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{4}{9}) + 32$

Passaggio 3.1.2.1.18

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.18.1

Scomponi $3$ da $24$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 (8) (\frac{4}{9}) + 32$

Passaggio 3.1.2.1.18.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 \cdot (8 (\frac{4}{3 \cdot 3})) + 32$

Passaggio 3.1.2.1.18.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 \cdot (8 (\frac{4}{3 \cdot 3})) + 32$

Passaggio 3.1.2.1.18.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 8 (\frac{4}{3}) + 32$

Passaggio 3.1.2.1.19

$8$ e $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + \frac{8 \cdot 4}{3} + 32$

Passaggio 3.1.2.1.20

Moltiplica $8$ per $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + \frac{32}{3} + 32$

Passaggio 3.1.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{2}{3}) = 32 + \frac{16 - 128}{27} + \frac{32}{3}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Sottrai $128$ da $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 32 + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Passaggio 3.1.2.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Scrivi $32$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{1} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Moltiplica $\frac{32}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{1} \cdot \frac{27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Passaggio 3.1.2.3.3

Moltiplica $\frac{32}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Passaggio 3.1.2.3.4

Moltiplica $\frac{32}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 3.1.2.3.5

Moltiplica $\frac{32}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 3.1.2.3.6

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32 \cdot 9}{27}$

Passaggio 3.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27 - 112 + 32 \cdot 9}{27}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Moltiplica $32$ per $27$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{864 - 112 + 32 \cdot 9}{27}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Moltiplica $32$ per $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{864 - 112 + 288}{27}$

Passaggio 3.1.2.6

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1

Sottrai $112$ da $864$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{752 + 288}{27}$

Passaggio 3.1.2.6.2

Somma $752$ e $288$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1040}{27}$

Passaggio 3.1.2.7

La risposta finale è $\frac{1040}{27}$ .

$\frac{1040}{27}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $- \frac{2}{3}$ in $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ è $(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 2$ in $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{4} + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 16 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f (- 2) = 48 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f (- 2) = 48 + 16 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $16$ per $- 8$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Passaggio 3.3.2.1.5

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 24 \cdot 4 + 32$

Passaggio 3.3.2.1.6

Moltiplica $24$ per $4$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 96 + 32$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Sottrai $128$ da $48$ .

$f (- 2) = - 80 + 96 + 32$

Passaggio 3.3.2.2.2

Somma $- 80$ e $96$ .

$f (- 2) = 16 + 32$

Passaggio 3.3.2.2.3

Somma $16$ e $32$ .

$f (- 2) = 48$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $48$ .

$48$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 2$ in $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ è $(- 2, 48)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 2, 48)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27}), (- 2, 48)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.1$ nell'espressione.

$f'' (- 2.1) = 36 {(- 2.1)}^{2} + 96 (- 2.1) + 48$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2.1) = 36 \cdot 4.41 + 96 (- 2.1) + 48$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $36$ per $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 158.76 + 96 (- 2.1) + 48$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $96$ per $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 158.76 - 201.6 + 48$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $201.6$ da $158.76$ .

$f'' (- 2.1) = - 42.84 + 48$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 42.84$ e $48$ .

$f'' (- 2.1) = 5.16$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $5.16$ .

$5.16$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 2.1$ , la derivata seconda è $5.16$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 2)$ .

Crescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, - \frac{2}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.\overline{3}$ nell'espressione.

$f'' (- 1.\overline{3}) = 36 {(- 1.\overline{3})}^{2} + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $36$ per $1.\overline{7}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 64 + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $96$ per $- 1.\overline{3}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 64 - 128 + 48$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $128$ da $64$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = - 64 + 48$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 64$ e $48$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = - 16$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 16$ .

$- 16$

Passaggio 6.3

Per $- 1.\overline{3}$ , la derivata seconda è $- 16$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 2, - \frac{2}{3})$ .

Decrescente su $(- 2, - \frac{2}{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{2}{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.5\overline{6}$ nell'espressione.

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 {(- 0.5\overline{6})}^{2} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 0.5\overline{6}$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 \cdot 0.32\overline{1} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $36$ per $0.32\overline{1}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 11.55\overline{9} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $96$ per $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 11.55\overline{9} - 54.4 + 48$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $54.4$ da $11.55\overline{9}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 42.84 + 48$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 42.84$ e $48$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 5.16$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $5.16$ .

$5.16$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- 0.5\overline{6}$ , la derivata seconda è $5.16$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \frac{2}{3}, \infty)$ .

Crescente su $(- \frac{2}{3}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 48), (- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$ .

$(- 2, 48), (- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$

Passaggio 9