Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$15 x^{4} - 10 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 10$ .

$15 x^{4} - 40 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$15 x^{4} - 40 x^{3} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $15 x^{4} - 40 x^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 40 x^{3}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{4} - 40 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{4}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $4$ per $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 40$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 40 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{3} - 40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$60 x^{3} - 40 (3 x^{2})$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 40$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 120 x^{2}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $60 x^{3} - 120 x^{2}$ .

$60 x^{3} - 120 x^{2}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $60 x^{3} - 120 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$60 x^{3} - 120 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $60 x^{2}$ da $60 x^{3} - 120 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $60 x^{2}$ da $60 x^{3}$ .

$60 x^{2} (x) - 120 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $60 x^{2}$ da $- 120 x^{2}$ .

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (- 2) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $60 x^{2}$ da $60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (- 2)$ .

$60 x^{2} (x - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $60 x^{2} (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 3 {(0)}^{5} - 10 {(0)}^{4} + 1$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 10 {(0)}^{4} + 1$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 10 {(0)}^{4} + 1$

Passaggio 3.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 10 \cdot 0 + 1$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $- 10$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ è $(0, 1)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 1)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $2$ in $f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 3 {(2)}^{5} - 10 {(2)}^{4} + 1$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (2) = 3 \cdot 32 - 10 {(2)}^{4} + 1$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $32$ .

$f (2) = 96 - 10 {(2)}^{4} + 1$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (2) = 96 - 10 \cdot 16 + 1$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $- 10$ per $16$ .

$f (2) = 96 - 160 + 1$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Sottrai $160$ da $96$ .

$f (2) = - 64 + 1$

Passaggio 3.3.2.2.2

Somma $- 64$ e $1$ .

$f (2) = - 63$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $- 63$ .

$- 63$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $2$ in $f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ è $(2, - 63)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(2, - 63)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 1), (2, - 63)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = 60 {(- 0.1)}^{3} - 120 {(- 0.1)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.1) = 60 \cdot - 0.001 - 120 {(- 0.1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $60$ per $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.06 - 120 {(- 0.1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.06 - 120 \cdot 0.01$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 120$ per $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.06 - 1.2$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $1.2$ da $- 0.06$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.26$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 1.26$ .

$- 1.26$

Passaggio 5.3

Per $- 0.1$ , la derivata seconda è $- 1.26$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f'' (1) = 60 {(1)}^{3} - 120 {(1)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (1) = 60 \cdot 1 - 120 {(1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $60$ per $1$ .

$f'' (1) = 60 - 120 {(1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (1) = 60 - 120 \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 120$ per $1$ .

$f'' (1) = 60 - 120$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $120$ da $60$ .

$f'' (1) = - 60$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 60$ .

$- 60$

Passaggio 6.3

Per $1$ , la derivata seconda è $- 60$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, 2)$ .

Decrescente su $(0, 2)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.1$ nell'espressione.

$f'' (2.1) = 60 {(2.1)}^{3} - 120 {(2.1)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (2.1) = 60 \cdot 9.261 - 120 {(2.1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $60$ per $9.261$ .

$f'' (2.1) = 555.66 - 120 {(2.1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.1) = 555.66 - 120 \cdot 4.41$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 120$ per $4.41$ .

$f'' (2.1) = 555.66 - 529.2$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $529.2$ da $555.66$ .

$f'' (2.1) = 26.46$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $26.46$ .

$26.46$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $2.1$ , la derivata seconda è $26.46$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(2, - 63)$ .

$(2, - 63)$

Passaggio 9