Calcolo Esempi

$f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{5} - 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{5}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f' (x) = 8 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $5$ per $8$ .

$f' (x) = 40 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 40 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{4}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 40 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$f' (x) = 40 x^{4} - 20 x^{3}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $40 x^{4} - 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [40 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (40 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [40 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $40$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $40 x^{4}$ rispetto a $x$ è $40 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 40 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 40 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $4$ per $40$ .

$f'' (x) = 160 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 160 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} x^{3}$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 160 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 20$ .

$f'' (x) = 160 x^{3} - 60 x^{2}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $160 x^{3} - 60 x^{2}$ .

$160 x^{3} - 60 x^{2}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $160 x^{3} - 60 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$160 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $20 x^{2}$ da $160 x^{3} - 60 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $20 x^{2}$ da $160 x^{3}$ .

$20 x^{2} (8 x) - 60 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $20 x^{2}$ da $- 60 x^{2}$ .

$20 x^{2} (8 x) + 20 x^{2} (- 3) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $20 x^{2}$ da $20 x^{2} (8 x) + 20 x^{2} (- 3)$ .

$20 x^{2} (8 x - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$8 x - 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $8 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $8 x - 3$ uguale a $0$ .

$8 x - 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $8 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 x = 3$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = 3$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{8}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $20 x^{2} (8 x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{3}{8}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 8 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 8 \cdot 0 - 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $8$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $\frac{3}{8}$ in $f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{8}$ nell'espressione.

$f (\frac{3}{8}) = 8 {(\frac{3}{8})}^{5} - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{8}$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{3^{5}}{8^{5}}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{8^{5}}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $8$ alla potenza di $5$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{32768}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Scomponi $8$ da $32768$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{8 (4096)}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{8 \cdot 4096}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{8}$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 \frac{3^{4}}{8^{4}}$

Passaggio 3.3.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 \frac{81}{8^{4}}$

Passaggio 3.3.2.1.7

Eleva $8$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 (\frac{81}{4096})$

Passaggio 3.3.2.1.8

Moltiplica $- 5 (\frac{81}{4096})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.8.1

$- 5$ e $\frac{81}{4096}$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} + \frac{- 5 \cdot 81}{4096}$

Passaggio 3.3.2.1.8.2

Moltiplica $- 5$ per $81$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} + \frac{- 405}{4096}$

Passaggio 3.3.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - \frac{405}{4096}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243 - 405}{4096}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Sottrai $405$ da $243$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{- 162}{4096}$

Passaggio 3.3.2.2.3

Elimina il fattore comune di $- 162$ e $4096$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 162$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{2 (- 81)}{4096}$

Passaggio 3.3.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4096$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 2048}$

Passaggio 3.3.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 2048}$

Passaggio 3.3.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{- 81}{2048}$

Passaggio 3.3.2.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{3}{8}) = - \frac{81}{2048}$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $- \frac{81}{2048}$ .

$- \frac{81}{2048}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $\frac{3}{8}$ in $f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ è $(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{8}) \cup (\frac{3}{8}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = 160 {(- 0.1)}^{3} - 60 {(- 0.1)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.1) = 160 \cdot - 0.001 - 60 {(- 0.1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $160$ per $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.16 - 60 {(- 0.1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.16 - 60 \cdot 0.01$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 60$ per $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.16 - 0.6$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $0.6$ da $- 0.16$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.76$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 0.76$ .

$- 0.76$

Passaggio 5.3

Per $- 0.1$ , la derivata seconda è $- 0.76$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{3}{8})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1875$ nell'espressione.

$f'' (0.1875) = 160 {(0.1875)}^{3} - 60 {(0.1875)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $0.1875$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.1875) = 160 \cdot 0.00659179 - 60 {(0.1875)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $160$ per $0.00659179$ .

$f'' (0.1875) = 1.0546875 - 60 {(0.1875)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $0.1875$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.1875) = 1.0546875 - 60 \cdot 0.03515625$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 60$ per $0.03515625$ .

$f'' (0.1875) = 1.0546875 - 2.109375$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $2.109375$ da $1.0546875$ .

$f'' (0.1875) = - 1.0546875$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 1.0546875$ .

$- 1.0546875$

Passaggio 6.3

Per $0.1875$ , la derivata seconda è $- 1.0546875$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, \frac{3}{8})$ .

Decrescente su $(0, \frac{3}{8})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{3}{8}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.475$ nell'espressione.

$f'' (0.475) = 160 {(0.475)}^{3} - 60 {(0.475)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.475$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.475) = 160 \cdot 0.10717187 - 60 {(0.475)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $160$ per $0.10717187$ .

$f'' (0.475) = 17.1475 - 60 {(0.475)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $0.475$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.475) = 17.1475 - 60 \cdot 0.225625$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 60$ per $0.225625$ .

$f'' (0.475) = 17.1475 - 13.5375$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $13.5375$ da $17.1475$ .

$f'' (0.475) = 3.61$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $3.61$ .

$3.61$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.475$ , la derivata seconda è $3.61$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{3}{8}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{3}{8}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$ .

$(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$

Passaggio 9