Calcolo Esempi

$f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{32}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{32}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 1.1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 1.1.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 1.1.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 1.1.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 1.1.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Passaggio 1.1.2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 1.1.2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 1.1.2.10

Moltiplica $- 2$ per $32$ .

$f' (x) = 1 - 64 x^{- 3}$

Passaggio 1.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

$- 64$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 1 - \frac{64}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 1$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{64}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $- 64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{64}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2.2.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2.2.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2.2.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2.2.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2.2.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2.2.8

Moltiplica $- 3$ per $- 64$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + 0$

Passaggio 1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{1}{x^{4}}) + 0$

Passaggio 1.2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

$192$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}} + 0$

Passaggio 1.2.4.2.2

Somma $\frac{192}{x^{4}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{192}{x^{4}}$ .

$\frac{192}{x^{4}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{192}{x^{4}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{192}{x^{4}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$192 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $192 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non è stato trovato alcun valore in grado di rendere la derivata seconda uguale a $0$ .

Nessun punto di flesso