Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 3) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.6.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ .

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Passaggio 1.1.6.3.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.2.2

Somma $6 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$6 x = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 0$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $6$ .

$x = 0$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 3}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0 + 3}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $3$ .

$\frac{0}{3}$

Passaggio 4.1.2.3

Dividi $0$ per $3$ .

$0$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, 0)$

Passaggio 5