Calcolo Esempi

$y = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riordina i termini.

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

Passaggio 1.1.4.2.2

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Passaggio 1.1.4.2.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$f' (x) = \sin (2 x) - \sin (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (2 x) - \sin (x)$ .

$\sin (2 x) - \sin (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\sin (2 x) - \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi $\sin (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scomponi $\sin (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Passaggio 2.3.2

Scomponi $\sin (x)$ da $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.3.3

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 2.5.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 2.5.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.5.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.6

Imposta $2 \cos (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $2 \cos (x) - 1$ uguale a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.6.2

Risolvi $2 \cos (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (x) = 1$

Passaggio 2.6.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 2.6.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 2.6.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 2.6.2.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 2.6.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 2.6.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 2.6.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.6.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 2.6.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 2.6.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.6.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.6.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.6.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.6.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\sin^{2} (0) + \cos (0)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0^{2} + \cos (0)$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + \cos (0)$

Passaggio 4.1.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $π$ a $x$ .

$\sin^{2} (π) + \cos (π)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\sin^{2} (0) + \cos (π)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0^{2} + \cos (π)$

Passaggio 4.2.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + \cos (π)$

Passaggio 4.2.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$0 - \cos (0)$

Passaggio 4.2.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $\frac{π}{3}$ a $x$ .

$\sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.3.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.3.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.3.2.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.3.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.3.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.3.2.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3^{1}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.3.2.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.3.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.3.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.3.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Passaggio 4.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 + 2}{4}$

Passaggio 4.3.2.5

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{5}{4}$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0 + 2 π n, 1), (π + 2 π n, - 1), (\frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5}{4})$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5