Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3} - 8$ e $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} - 8] - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2}) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x - 2$ .

$\frac{3 \cdot (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(3 x + 3 \cdot - 2) x^{2} - (x^{3} - 8)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 2 x^{2} - (x^{3} - 8)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - x^{3} + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Sottrai $x^{3}$ da $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Scomponi $2$ da $2 x^{3} - 6 x^{2} + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3}) - 6 x^{2} + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Scomponi $2$ da $- 6 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.3

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.4

Scomponi $2$ da $2 x^{3} + 2 (- 3 x^{2})$ .

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2}) + 2 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{3} - 3 x^{2}) + 2 \cdot 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$ .

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Dividi $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ per $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 2.3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Scomponi $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.3.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 2.3.2.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Passaggio 2.3.2.1.3.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Passaggio 2.3.2.1.3.5

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$- 4 + 4$

Passaggio 2.3.2.1.3.6

Somma $- 4$ e $4$ .

$0$

Passaggio 2.3.2.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x + 1}$

Passaggio 2.3.2.1.5

Dividi $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Passaggio 2.3.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Passaggio 2.3.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 2.3.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 2.3.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 2.3.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 2.3.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Passaggio 2.3.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Passaggio 2.3.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Passaggio 2.3.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Passaggio 2.3.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x + 4$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Passaggio 2.3.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

Passaggio 2.3.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 4 x + 4$

Passaggio 2.3.2.1.6

Scrivi $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ come insieme di fattori.

$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 2.3.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$(x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3.4

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.3.5

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3.5.2

Risolvi ${(x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.3.5.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 1, 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{x^{3} - 8}{x - 2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 8}{(- 1) - 2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- 1 - 8}{- 1 - 2}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Sottrai $8$ da $- 1$ .

$\frac{- 9}{- 1 - 2}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$\frac{- 9}{- 3}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Dividi $- 9$ per $- 3$ .

$3$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$\frac{{(2)}^{3} - 8}{(2) - 2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{{(2)}^{3} - 8}{0}$

Passaggio 4.2.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(- 1, 3)$

Passaggio 5