Calcolo Esempi

$- x + 2 \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x + 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 1 + 2 (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = - 1 - 2 \sin (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 1 - 2 \sin (x)$ .

$- 1 - 2 \sin (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 1 - 2 \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 1 - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (x) = 1$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = 1$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Passaggio 2.5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{1}{2})$ è $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.6

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 2.7.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 2.8

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.8.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.9

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Passaggio 2.9.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.9.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.9.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 2.9.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 2.9.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Passaggio 2.9.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 2.10

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $- x + 2 \cos (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{7 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{7 π}{6}$ a $x$ .

$- (\frac{7 π}{6}) + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- \frac{7 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Passaggio 4.1.2.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{7 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 4.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$- \frac{7 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{7 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{19 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{19 π}{6}$ a $x$ .

$- (\frac{19 π}{6}) + 2 \cos (\frac{19 π}{6})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \frac{19 π}{6} + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- \frac{19 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Passaggio 4.2.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{19 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 4.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$- \frac{19 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{19 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{19 π}{6} - \sqrt{3}$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = \frac{31 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $\frac{31 π}{6}$ a $x$ .

$- (\frac{31 π}{6}) + 2 \cos (\frac{31 π}{6})$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \frac{31 π}{6} + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.3.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- \frac{31 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Passaggio 4.3.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{31 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 4.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$- \frac{31 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{31 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.3.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{31 π}{6} - \sqrt{3}$

Passaggio 4.4

Calcola per $x = \frac{43 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci $\frac{43 π}{6}$ a $x$ .

$- (\frac{43 π}{6}) + 2 \cos (\frac{43 π}{6})$

Passaggio 4.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \frac{43 π}{6} + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.4.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- \frac{43 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Passaggio 4.4.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{43 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 4.4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$- \frac{43 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.4.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{43 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.4.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{43 π}{6} - \sqrt{3}$

Passaggio 4.5

Calcola per $x = \frac{55 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci $\frac{55 π}{6}$ a $x$ .

$- (\frac{55 π}{6}) + 2 \cos (\frac{55 π}{6})$

Passaggio 4.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \frac{55 π}{6} + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.5.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- \frac{55 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Passaggio 4.5.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{55 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 4.5.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$- \frac{55 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.5.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{55 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.5.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{55 π}{6} - \sqrt{3}$

Passaggio 4.6

Calcola per $x = \frac{11 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Sostituisci $\frac{11 π}{6}$ a $x$ .

$- (\frac{11 π}{6}) + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \frac{11 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.6.2.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{11 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{11 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{11 π}{6} + \sqrt{3}$

Passaggio 4.7

Calcola per $x = \frac{23 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Sostituisci $\frac{23 π}{6}$ a $x$ .

$- (\frac{23 π}{6}) + 2 \cos (\frac{23 π}{6})$

Passaggio 4.7.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \frac{23 π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.7.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \frac{23 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.7.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{23 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.7.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{23 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.7.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{23 π}{6} + \sqrt{3}$

Passaggio 4.8

Calcola per $x = \frac{35 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Sostituisci $\frac{35 π}{6}$ a $x$ .

$- (\frac{35 π}{6}) + 2 \cos (\frac{35 π}{6})$

Passaggio 4.8.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \frac{35 π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.8.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \frac{35 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.8.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{35 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.8.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{35 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.8.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{35 π}{6} + \sqrt{3}$

Passaggio 4.9

Calcola per $x = \frac{47 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Sostituisci $\frac{47 π}{6}$ a $x$ .

$- (\frac{47 π}{6}) + 2 \cos (\frac{47 π}{6})$

Passaggio 4.9.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \frac{47 π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.9.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \frac{47 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.9.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{47 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.9.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{47 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.9.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{47 π}{6} + \sqrt{3}$

Passaggio 4.10

Calcola per $x = \frac{59 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Sostituisci $\frac{59 π}{6}$ a $x$ .

$- (\frac{59 π}{6}) + 2 \cos (\frac{59 π}{6})$

Passaggio 4.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \frac{59 π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.10.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \frac{59 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.10.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{59 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.10.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{59 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.10.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{59 π}{6} + \sqrt{3}$

Passaggio 4.11

Elenca tutti i punti.

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{19 π}{6}, - \frac{19 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{31 π}{6}, - \frac{31 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{43 π}{6}, - \frac{43 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{55 π}{6}, - \frac{55 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6}, - \frac{11 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{23 π}{6}, - \frac{23 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{35 π}{6}, - \frac{35 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{47 π}{6}, - \frac{47 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{59 π}{6}, - \frac{59 π}{6} + \sqrt{3})$

Passaggio 5