Calcolo Esempi

$g (x) = - 5 x^{3} + x^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 5 x^{3} + x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$- 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 15 x^{2} + 4 x^{3}$

Passaggio 1.1.3.2

Riordina i termini.

$f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 15 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 15 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 15 x^{2} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 15 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{2}$ da $4 x^{3} - 15 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $4 x^{3}$ .

$x^{2} (4 x) - 15 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 15 x^{2}$ .

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 15 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 15$ .

$x^{2} (4 x - 15) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$4 x - 15 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $4 x - 15$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $4 x - 15$ uguale a $0$ .

$4 x - 15 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $4 x - 15 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Somma $15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 15$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 15$ e semplifica.

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Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 15$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{15}{4}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{15}{4}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{15}{4}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} (4 x - 15) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{15}{4}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $- 5 x^{3} + x^{4}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$- 5 {(0)}^{3} + {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 5 \cdot 0 + {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$0 + {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{15}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{15}{4}$ a $x$ .

$- 5 {(\frac{15}{4})}^{3} + {(\frac{15}{4})}^{4}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{15}{4}$ .

$- 5 \frac{15^{3}}{4^{3}} + {(\frac{15}{4})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $15$ alla potenza di $3$ .

$- 5 \frac{3375}{4^{3}} + {(\frac{15}{4})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- 5 (\frac{3375}{64}) + {(\frac{15}{4})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 5 (\frac{3375}{64})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

$- 5$ e $\frac{3375}{64}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3375}{64} + {(\frac{15}{4})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

Moltiplica $- 5$ per $3375$ .

$\frac{- 16875}{64} + {(\frac{15}{4})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{16875}{64} + {(\frac{15}{4})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{15}{4}$ .

$- \frac{16875}{64} + \frac{15^{4}}{4^{4}}$

Passaggio 4.2.2.1.7

Eleva $15$ alla potenza di $4$ .

$- \frac{16875}{64} + \frac{50625}{4^{4}}$

Passaggio 4.2.2.1.8

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$- \frac{16875}{64} + \frac{50625}{256}$

Passaggio 4.2.2.2

Per scrivere $- \frac{16875}{64}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{16875}{64} \cdot \frac{4}{4} + \frac{50625}{256}$

Passaggio 4.2.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $256$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.2.2.3.1

Moltiplica $\frac{16875}{64}$ per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{16875 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{50625}{256}$

Passaggio 4.2.2.3.2

Moltiplica $64$ per $4$ .

$- \frac{16875 \cdot 4}{256} + \frac{50625}{256}$

Passaggio 4.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 16875 \cdot 4 + 50625}{256}$

Passaggio 4.2.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.2.5.1

Moltiplica $- 16875$ per $4$ .

$\frac{- 67500 + 50625}{256}$

Passaggio 4.2.2.5.2

Somma $- 67500$ e $50625$ .

$\frac{- 16875}{256}$

Passaggio 4.2.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{16875}{256}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (\frac{15}{4}, - \frac{16875}{256})$

Passaggio 5