Calcolo Esempi

$f (x) = x - 5 x^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5 x^{\frac{1}{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{\frac{1}{5}}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{5}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})$

Passaggio 1.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Passaggio 1.1.2.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 1.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})$

Passaggio 1.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - 5 (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})$

Passaggio 1.1.2.8

$\frac{1}{5}$ e $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$1 - 5 \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Passaggio 1.1.2.9

$- 5$ e $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ .

$1 + \frac{- 5 x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Passaggio 1.1.2.10

Sposta $x^{- \frac{4}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 5}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.1.2.11

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$1 + \frac{5 \cdot - 1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.1.2.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.12.1

Scomponi $5$ da $5 x^{\frac{4}{5}}$ .

$1 + \frac{5 \cdot - 1}{5 (x^{\frac{4}{5}})}$

Passaggio 1.1.2.12.2

Elimina il fattore comune.

$1 + \frac{5 \cdot - 1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.1.2.12.3

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.1.2.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = - 1$

Passaggio 2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{\frac{4}{5}}, 1$

Passaggio 2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica per $x^{\frac{4}{5}}$ ciascun termine in $- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = - 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = - 1$ per $x^{\frac{4}{5}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{4}{5}} = - x^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{4}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{4}{5}} = - x^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{4}{5}} = - x^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - x^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $- x^{\frac{4}{5}} = - 1$ .

$- x^{\frac{4}{5}} = - 1$

Passaggio 2.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{\frac{4}{5}} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{\frac{4}{5}} = - 1$ .

$\frac{- x^{\frac{4}{5}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{\frac{4}{5}}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Dividi $x^{\frac{4}{5}}$ per $1$ .

$x^{\frac{4}{5}} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x^{\frac{4}{5}} = 1$

Passaggio 2.5.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{5}{4}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.1.2

Semplifica.

$x = \pm 1^{\frac{5}{4}}$

Passaggio 2.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \pm 1$

Passaggio 2.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 2.5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 2.5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$1 - \frac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[5]{x^{4}} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $5$ potenza.

${\sqrt[5]{x^{4}}}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{x^{4}}$ come $x^{\frac{4}{5}}$ .

${(x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} = 0^{5}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{4} = 0$

Passaggio 3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.3.3.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi $x - 5 x^{\frac{1}{5}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$(1) - 5 {(1)}^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 5 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$1 - 5$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$- 4$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$(- 1) - 5 {(- 1)}^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{5}$ .

$- 1 - 5 {({(- 1)}^{5})}^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 - 5 {(- 1)}^{5 (\frac{1}{5})}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$- 1 - 5 {(- 1)}^{5 (\frac{1}{5})}$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 - 5 {(- 1)}^{1}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Calcola l'esponente.

$- 1 - 5 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$- 1 + 5$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 1$ e $5$ .

$4$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$(0) - 5 {(0)}^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{5}$ .

$0 - 5 {(0^{5})}^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 5 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$0 - 5 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}$

Passaggio 4.3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$0 - 5 \cdot 0^{1}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Calcola l'esponente.

$0 - 5 \cdot 0$

Passaggio 4.3.2.1.5

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(1, - 4), (- 1, 4), (0, 0)$

Passaggio 5