Calcolo Esempi

$y = x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $16$ per $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 12 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $4$ da $- 12 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 16 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $4$ da $16$ .

$4 x^{3} + 4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 4 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $4$ da $4 x^{3} + 4 (- 3 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 \cdot 4 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $4$ da $4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 \cdot 4$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.2.2.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Passaggio 2.2.2.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Passaggio 2.2.2.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Passaggio 2.2.2.3.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Passaggio 2.2.2.3.5

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$- 4 + 4$

Passaggio 2.2.2.3.6

Somma $- 4$ e $4$ .

$0$

Passaggio 2.2.2.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x + 1}$

Passaggio 2.2.2.5

Dividi $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ per $x + 1$ .

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Passaggio 2.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Passaggio 2.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Passaggio 2.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Passaggio 2.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 2.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 2.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 2.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 2.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Passaggio 2.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Passaggio 2.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Passaggio 2.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Passaggio 2.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x + 4$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Passaggio 2.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

Passaggio 2.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 4 x + 4$

Passaggio 2.2.2.6

Scrivi $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ come insieme di fattori.

$4 ((x + 1) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi.

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Passaggio 2.2.3.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.2.3.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$4 ((x + 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

Passaggio 2.2.3.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 2.2.3.1.3

Riscrivi il polinomio.

$4 ((x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Passaggio 2.2.3.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$4 ((x + 1) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.5

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi ${(x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 1, 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $- 1$ .

${(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 16 (- 1) - 16$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$1 - 4 {(- 1)}^{3} + 16 (- 1) - 16$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 4 \cdot - 1 + 16 (- 1) - 16$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$1 + 4 + 16 (- 1) - 16$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$1 + 4 - 16 - 16$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $1$ e $4$ .

$5 - 16 - 16$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $16$ da $5$ .

$- 11 - 16$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sottrai $16$ da $- 11$ .

$- 27$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

${(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3} + 16 (2) - 16$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 - 4 {(2)}^{3} + 16 (2) - 16$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$16 - 4 \cdot 8 + 16 (2) - 16$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$16 - 32 + 16 (2) - 16$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $16$ per $2$ .

$16 - 32 + 32 - 16$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $32$ da $16$ .

$- 16 + 32 - 16$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $- 16$ e $32$ .

$16 - 16$

Passaggio 4.2.2.2.3

Sottrai $16$ da $16$ .

$0$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(- 1, - 27), (2, 0)$

Passaggio 5