Calcolo Esempi

$y = 2 x - \tan (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \tan (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 - \sec^{2} (x)$ .

$2 - \sec^{2} (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 - \sec^{2} (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sec^{2} (x) = - 2$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sec^{2} (x) = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sec^{2} (x) = - 2$ .

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi $\sec^{2} (x)$ per $1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 2.6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Passaggio 2.7

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Passaggio 2.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Il valore esatto di $arcsec (\sqrt{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.7.3

La funzione secante è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.7.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.7.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.7.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 2.7.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 2.7.4.3.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 2.7.5

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.7.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.7.6

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.8

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Passaggio 2.8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Il valore esatto di $arcsec (- \sqrt{2})$ è $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.8.3

La funzione secante è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.8.4

Semplifica $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.8.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.8.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Passaggio 2.8.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Passaggio 2.8.4.3.2

Sottrai $3 π$ da $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 2.8.5

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.8.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.8.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.8.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.8.6

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.9

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.10

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\sec (x)$ in modo che sia uguale a $\frac{π}{2} + π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Risolvi $2 x - \tan (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{π}{4}$ a $x$ .

$2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 \frac{π}{2 (2)} - \tan (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.2.2

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{3 π}{4}$ a $x$ .

$2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 \frac{3 π}{2 (2)} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 4.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{3 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 4.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 4.2.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{3 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.2.2.3

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.2.2.4

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3 π}{2} - - 1$

Passaggio 4.2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{3 π}{2} + 1$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = \frac{5 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $\frac{5 π}{4}$ a $x$ .

$2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 \frac{5 π}{2 (2)} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{5 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.3.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.3.2.3

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1$

Passaggio 4.4

Calcola per $x = \frac{7 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci $\frac{7 π}{4}$ a $x$ .

$2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 4.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 \frac{7 π}{2 (2)} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 4.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{7 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 4.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 4.4.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel quarto quadrante.

$\frac{7 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.4.2.3

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.4.2.4

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{7 π}{2} - - 1$

Passaggio 4.4.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{7 π}{2} + 1$

Passaggio 4.5

Calcola per $x = \frac{9 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci $\frac{9 π}{4}$ a $x$ .

$2 (\frac{9 π}{4}) - \tan (\frac{9 π}{4})$

Passaggio 4.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 \frac{9 π}{2 (2)} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Passaggio 4.5.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{9 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Passaggio 4.5.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Passaggio 4.5.2.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.5.2.3

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.5.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1$

Passaggio 4.6

Elenca tutti i punti.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1), (\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1), (\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1), (\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1), (\frac{9 π}{4}, \frac{9 π}{2} - 1)$

Passaggio 5