Calcolo Esempi

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4 \ln (3 x - 9)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 \ln (3 x - 9)$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Passaggio 1.1.2.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Passaggio 1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Passaggio 1.1.2.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Passaggio 1.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Passaggio 1.1.2.6

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Passaggio 1.1.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Passaggio 1.1.2.8

Somma $3$ e $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Passaggio 1.1.2.9

$\frac{1}{3 x - 9}$ e $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

Passaggio 1.1.2.10

Elimina il fattore comune di $3$ e $3 x - 9$ .

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Passaggio 1.1.2.10.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Passaggio 1.1.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.1.2.10.2.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Passaggio 1.1.2.10.2.2

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Passaggio 1.1.2.10.2.3

Scomponi $3$ da $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Passaggio 1.1.2.10.2.4

Elimina il fattore comune.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Passaggio 1.1.2.10.2.5

Riscrivi l'espressione.

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

Passaggio 1.1.2.11

$- 4$ e $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

Passaggio 1.1.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{4}{x - 3}$

Passaggio 1.1.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

Passaggio 1.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

Passaggio 1.1.3.3

Sottrai $4$ da $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 7}{x - 3}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x - 7}{x - 3}$ .

$\frac{x - 7}{x - 3}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x - 7}{x - 3} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x - 7}{x - 3} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x - 7 = 0$

Passaggio 2.3

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{x - 7}{x - 3}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 4

Risolvi $x - 4 \ln (3 x - 9)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 7$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $7$ a $x$ .

$(7) - 4 \ln (3 (7) - 9)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $3$ per $7$ .

$7 - 4 \ln (21 - 9)$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $9$ da $21$ .

$7 - 4 \ln (12)$

Passaggio 4.1.2.3

Semplifica $- 4 \ln (12)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$7 - \ln (12^{4})$

Passaggio 4.1.2.4

Eleva $12$ alla potenza di $4$ .

$7 - \ln (20736)$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$(3) - 4 \ln (3 (3) - 9)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$3 - 4 \ln (9 - 9)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Sottrai $9$ da $9$ .

$3 - 4 \ln (0)$

Passaggio 4.2.2.1.3

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

$3 - 4 \ln (0)$

Passaggio 4.2.2.2

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(7, 7 - \ln (20736))$

Passaggio 5