Calcolo Esempi

$y = x {(6 - 2 x)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi ${(6 - 2 x)}^{2}$ come $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((6 - 2 x) (6 - 2 x))]$

Passaggio 1.1.2

Espandi $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (6 (6 - 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

Passaggio 1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

Passaggio 1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Passaggio 1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Passaggio 1.1.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 x (- 2 x))]$

Passaggio 1.1.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Passaggio 1.1.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Passaggio 1.1.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Passaggio 1.1.3.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x + 4 x^{2})]$

Passaggio 1.1.3.2

Sottrai $12 x$ da $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 24 x + 4 x^{2})]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 36 - 24 x + 4 x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [36 - 24 x + 4 x^{2}] + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $36 - 24 x + 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.2

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.4

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.6

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$x (- 24 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.7

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- 24 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (- 24 + 4 (2 x)) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.9

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \cdot 1$

Passaggio 1.1.5.11

Moltiplica $36 - 24 x + 4 x^{2}$ per $1$ .

$x (- 24 + 8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot - 24 + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Passaggio 1.1.6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.1

Sposta $- 24$ alla sinistra di $x$ .

$- 24 \cdot x + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Passaggio 1.1.6.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 24 x + 8 (x^{1} x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Passaggio 1.1.6.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 24 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Passaggio 1.1.6.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 24 x + 8 x^{1 + 1} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Passaggio 1.1.6.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$- 24 x + 8 x^{2} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Passaggio 1.1.6.2.6

Sottrai $24 x$ da $- 24 x$ .

$- 48 x + 8 x^{2} + 36 + 4 x^{2}$

Passaggio 1.1.6.2.7

Somma $8 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$- 48 x + 12 x^{2} + 36$

Passaggio 1.1.6.3

Riordina i termini.

$f' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $12$ da $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $12$ da $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 48 x + 36 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $12$ da $- 48 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 36 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $12$ da $36$ .

$12 x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $12$ da $12 x^{2} + 12 (- 4 x)$ .

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $12$ da $12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3$ .

$12 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 4 x + 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 3, - 1$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$12 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 (x - 3) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 3, 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x {(6 - 2 x)}^{2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 3$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$(3) {(6 - 2 \cdot 3)}^{2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$3 {(6 - 6)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $6$ da $6$ .

$3 \cdot 0^{2}$

Passaggio 4.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 1$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$(1) {(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica ${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$ per $1$ .

${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

${(6 - 2)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.3

Sottrai $2$ da $6$ .

$4^{2}$

Passaggio 4.2.2.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$16$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(3, 0), (1, 16)$

Passaggio 5