Calcolo Esempi

$y = x \ln (x + 3)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x + 3)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$x (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

$\frac{1}{x + 3}$ e $x$ .

$\frac{x}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + 0) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x}{x + 3} \cdot 1 + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.5.2

Moltiplica $\frac{x}{x + 3}$ per $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.7

Moltiplica $\ln (x + 3)$ per $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3)$

Passaggio 1.1.4

Per scrivere $\ln (x + 3)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{x + 3} + \frac{\ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + \ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.1.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.6.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.6.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln (x + 3) \cdot 3}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.1.1.2

Moltiplica $\ln (x + 3) \cdot 3$ .

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Passaggio 1.1.6.1.1.2.1

Riordina $\ln (x + 3)$ e $3$ .

$\frac{x + \ln (x + 3) x + 3 \cdot \ln (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.1.1.2.2

Semplifica $3 \cdot \ln (x + 3)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.1.2

Riordina i fattori in $x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})$ .

$\frac{x + x \ln (x + 3) + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Passaggio 1.1.6.2

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$

Passaggio 2.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 1.14544928$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 3.3

Imposta l'argomento in $\ln (x + 3)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x + 3 \leq 0$

Passaggio 3.4

Sottrai $3$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \leq - 3$

Passaggio 3.5

Imposta l'argomento in $\ln ({(x + 3)}^{3})$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

${(x + 3)}^{3} \leq 0$

Passaggio 3.6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt[3]{{(x + 3)}^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica l'equazione.

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Passaggio 3.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0}$

Passaggio 3.6.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.6.2.2.1

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Passaggio 3.6.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 3.6.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$x + 3 \leq 0$

Passaggio 3.6.3

Sottrai $3$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \leq - 3$

Passaggio 3.7

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Passaggio 4

Risolvi $x \ln (x + 3)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 1.14544928$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- 1.14544928$ a $x$ .

$(- 1.14544928) \ln ((- 1.14544928) + 3)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Somma $- 1.14544928$ e $3$ .

$- 1.14544928 \ln (1.85455071)$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica $- 1.14544928 \ln (1.85455071)$ spostando $1.14544928$ all'interno del logaritmo.

$- \ln ({1.85455071}^{1.14544928})$

Passaggio 4.1.2.3

Eleva $1.85455071$ alla potenza di $1.14544928$ .

$- \ln (2.02886823)$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 3$ a $x$ .

$(- 3) \ln ((- 3) + 3)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma $- 3$ e $3$ .

$- 3 \ln (0)$

Passaggio 4.2.2.2

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(- 1.14544928, - \ln (2.02886823))$

Passaggio 5