Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} + 3 x + 5$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 3 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 3 + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $3 x^{2} + 3$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 3$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 3$ .

$3 x^{2} + 3$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 3 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = - 3$

Passaggio 2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = - 3$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = - 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{3}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Dividi $- 3$ per $3$ .

$x^{2} = - 1$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Nessun punto rende la derivata $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ uguale a $0$ o indefinita. L'intervallo per verificare se $f (x) = x^{3} + 3 x + 5$ è crescente o decrescente è $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ per verificare se il risultato è positivo o negativo. Se è negativo, il grafico è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ . Se è positivo, il grafico è crescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} + 3$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 3 \cdot 1 + 3$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (1) = 3 + 3$

Passaggio 5.2.2

Somma $3$ e $3$ .

$f' (1) = 6$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $6$ .

$6$

Passaggio 6

Il risultato della sostituzione di $1$ in $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ è $6$ , che è positivo; quindi, il grafico è crescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

Crescente su $(- \infty, \infty)$ perché $3 x^{2} + 3 > 0$

Passaggio 7

Crescente sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ significa che la funzione è sempre crescente.

Sempre crescente

Passaggio 8