Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Passaggio 1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Passaggio 1.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Passaggio 1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Passaggio 1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Passaggio 1.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Passaggio 1.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Passaggio 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

Passaggio 1.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 1.1.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 1.1.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Passaggio 1.1.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.11.2

Moltiplica $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 1)}^{1}}}$

Passaggio 4.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Passaggio 4.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{x + 1} = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica ${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(x + 1)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.4

Semplifica.

$4 (x + 1) = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 x + 4 \cdot 1 = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 x + 4 = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x + 4 = 0$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 4$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Passaggio 4.3.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{4}$

Passaggio 4.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.3.1

Dividi $- 4$ per $4$ .

$x = - 1$

Passaggio 4.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 1}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 1 < 0$

Passaggio 4.5

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x < - 1$

Passaggio 4.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \sqrt{x + 1}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 {((- 2) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $- 2$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Riscrivi ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Passaggio 6.2.1.3

Calcola l'esponente.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Passaggio 6.2.1.4

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{2 i}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{1}{2 i}$ per il coniugato di $2 i$ per rendere il denominatore reale.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Combina.

$f' (- 2) = \frac{1 i}{2 i i}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $i$ per $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i i}$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.3.1

Aggiungi le parentesi.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

Passaggio 6.2.3.3.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

Passaggio 6.2.3.3.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

Passaggio 6.2.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

Passaggio 6.2.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i^{2}}$

Passaggio 6.2.3.3.6

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{- 2}$

Passaggio 6.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{i}{2}$

Passaggio 6.2.6

La risposta finale è $- \frac{i}{2}$ .

$- \frac{i}{2}$

Passaggio 6.3

Con $x = - 2$ la derivata è $- \frac{i}{2}$ . Poiché contiene un numero immaginario, la funzione non esiste su $(- \infty, - 1)$ .

La funzione non è reale su $(- \infty, - 1)$ poiché $f' (x)$ è immaginario

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{1}{2 {((0) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Somma $0$ e $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (0) = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $\frac{1}{2}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 1, \infty)$ .

Crescente su $(- 1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 1, \infty)$

Passaggio 9