Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x + 3)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}] + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} (2 x)$

Passaggio 1.1.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 3)}^{3}$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{3} x$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Scomponi $x {(x + 3)}^{2}$ da $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Scomponi $x {(x + 3)}^{2}$ da $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2})$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + 2 {(x + 3)}^{3} x$

Passaggio 1.1.4.1.2

Scomponi $x {(x + 3)}^{2}$ da $2 {(x + 3)}^{3} x$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.1.3

Scomponi $x {(x + 3)}^{2}$ da $x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3) + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$x {(x + 3)}^{2} (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.3

Riscrivi ${(x + 3)}^{2}$ come $(x + 3) (x + 3)$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.4

Espandi $(x + 3) (x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x (x + 3) + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.5.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$x (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.5.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$x (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.5.2

Somma $3 x$ e $3 x$ .

$x (x^{2} + 6 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.6

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.7.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.7.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.7.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x^{1 + 2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.7.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$(x^{3} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.7.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.7.3

Sposta $9$ alla sinistra di $x$ .

$(x^{3} + 6 x \cdot x + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.8

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.8.1

Sposta $x$ .

$(x^{3} + 6 (x \cdot x) + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.8.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.4.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 2 \cdot 3)$

Passaggio 1.1.4.9.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 6)$

Passaggio 1.1.4.10

Somma $3 x$ e $2 x$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$

Passaggio 1.1.4.11

Espandi $(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.12.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x^{3} x + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.12.2.1

Sposta $x$ .

$5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.12.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.2.3

Somma $1$ e $3$ .

$5 x^{4} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.3

Sposta $6$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$5 x^{4} + 6 \cdot x^{3} + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.12.5.1

Sposta $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.12.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.6

Moltiplica $6$ per $5$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.7

Moltiplica $6$ per $6$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.8

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x \cdot x + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.9

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.12.9.1

Sposta $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 (x \cdot x) + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.9.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x^{2} + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.10

Moltiplica $9$ per $5$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 9 x \cdot 6$

Passaggio 1.1.4.12.11

Moltiplica $6$ per $9$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

Passaggio 1.1.4.13

Somma $6 x^{3}$ e $30 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

Passaggio 1.1.4.14

Somma $36 x^{2}$ e $45 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $x$ da $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $x$ da $5 x^{4}$ .

$x (5 x^{3}) + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $x$ da $36 x^{3}$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $x$ da $81 x^{2}$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + 54 x = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $x$ da $54 x$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $x$ da $x (5 x^{3}) + x (36 x^{2})$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

Passaggio 2.2.1.6

Scomponi $x$ da $x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x)$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54 = 0$

Passaggio 2.2.1.7

Scomponi $x$ da $x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 5$

Passaggio 2.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 54, \pm 10.8, \pm 2, \pm 0.4, \pm 27, \pm 5.4, \pm 3, \pm 0.6, \pm 18, \pm 3.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 9, \pm 1.8$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci $- 3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.1

Sostituisci $- 3$ nel polinomio.

$5 {(- 3)}^{3} + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Passaggio 2.2.2.3.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$5 \cdot - 27 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Passaggio 2.2.2.3.3

Moltiplica $5$ per $- 27$ .

$- 135 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Passaggio 2.2.2.3.4

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$- 135 + 36 \cdot 9 + 81 \cdot - 3 + 54$

Passaggio 2.2.2.3.5

Moltiplica $36$ per $9$ .

$- 135 + 324 + 81 \cdot - 3 + 54$

Passaggio 2.2.2.3.6

Somma $- 135$ e $324$ .

$189 + 81 \cdot - 3 + 54$

Passaggio 2.2.2.3.7

Moltiplica $81$ per $- 3$ .

$189 - 243 + 54$

Passaggio 2.2.2.3.8

Sottrai $243$ da $189$ .

$- 54 + 54$

Passaggio 2.2.2.3.9

Somma $- 54$ e $54$ .

$0$

Passaggio 2.2.2.4

Poiché $- 3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54}{x + 3}$

Passaggio 2.2.2.5

Dividi $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ per $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$5 x^{3}$

$36 x^{2}$

$81 x$

$54$

Passaggio 2.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$

Passaggio 2.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			+	$5 x^{3}$	+	$15 x^{2}$

Passaggio 2.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{3} + 15 x^{2}$

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Passaggio 2.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$

Passaggio 2.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

Passaggio 2.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $21 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

Passaggio 2.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$63 x$

Passaggio 2.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $21 x^{2} + 63 x$

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$

Passaggio 2.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$

Passaggio 2.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

Passaggio 2.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $18 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

Passaggio 2.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	+	$54$

Passaggio 2.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $18 x + 54$

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$

Passaggio 2.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$
										$0$

Passaggio 2.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$5 x^{2} + 21 x + 18$

Passaggio 2.2.2.6

Scrivi $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ come insieme di fattori.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 x + 18)) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 5 \cdot 18 = 90$ e la cui somma è $b = 21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1.1.1

Scomponi $21$ da $21 x$ .

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 (x) + 18)) = 0$

Passaggio 2.2.3.1.1.1.2

Riscrivi $21$ come $6$ più $15$ .

$x ((x + 3) (5 x^{2} + (6 + 15) x + 18)) = 0$

Passaggio 2.2.3.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 6 x + 15 x + 18)) = 0$

Passaggio 2.2.3.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$x ((x + 3) ((5 x^{2} + 6 x) + 15 x + 18)) = 0$

Passaggio 2.2.3.1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x ((x + 3) (x (5 x + 6) + 3 (5 x + 6))) = 0$

Passaggio 2.2.3.1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $5 x + 6$ .

$x ((x + 3) ((5 x + 6) (x + 3))) = 0$

Passaggio 2.2.3.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x ((x + 3) (5 x + 6) (x + 3)) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 3) (5 x + 6) (x + 3) = 0$

Passaggio 2.2.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Eleva $x + 3$ alla potenza di $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

Passaggio 2.2.4.2

Eleva $x + 3$ alla potenza di $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

Passaggio 2.2.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x {(x + 3)}^{1 + 1} (5 x + 6) = 0$

Passaggio 2.2.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$5 x + 6 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi ${(x + 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.6

Imposta $5 x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $5 x + 6$ uguale a $0$ .

$5 x + 6 = 0$

Passaggio 2.6.2

Risolvi $5 x + 6 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = - 6$

Passaggio 2.6.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = - 6$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Passaggio 2.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Passaggio 2.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{6}{5}$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$ vera.

$x = 0, - 3, - \frac{6}{5}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - 3, - \frac{6}{5}$ .

$0, - 3, - \frac{6}{5}$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6}{5}) \cup (- \frac{6}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = 5 {(- 4)}^{4} + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 4) = 5 \cdot 256 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $5$ per $256$ .

$f' (- 4) = 1280 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 4) = 1280 + 36 \cdot - 64 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $36$ per $- 64$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Passaggio 5.2.1.5

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 \cdot 16 + 54 (- 4)$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica $81$ per $16$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 + 54 (- 4)$

Passaggio 5.2.1.7

Moltiplica $54$ per $- 4$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 - 216$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $2304$ da $1280$ .

$f' (- 4) = - 1024 + 1296 - 216$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 1024$ e $1296$ .

$f' (- 4) = 272 - 216$

Passaggio 5.2.2.3

Sottrai $216$ da $272$ .

$f' (- 4) = 56$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $56$ .

$56$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 4$ la derivata è $56$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 3)$ .

Crescente su $(- \infty, - 3)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, - \frac{6}{5})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.1$ nell'espressione.

$f' (- 2.1) = 5 {(- 2.1)}^{4} + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 2.1$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $5$ per $19.4481$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 2.1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 \cdot - 9.261 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $36$ per $- 9.261$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Passaggio 6.2.1.5

Eleva $- 2.1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 \cdot 4.41 + 54 (- 2.1)$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $81$ per $4.41$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 + 54 (- 2.1)$

Passaggio 6.2.1.7

Moltiplica $54$ per $- 2.1$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 - 113.4$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $333.396$ da $97.2405$ .

$f' (- 2.1) = - 236.1555 + 357.21 - 113.4$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 236.1555$ e $357.21$ .

$f' (- 2.1) = 121.0545 - 113.4$

Passaggio 6.2.2.3

Sottrai $113.4$ da $121.0545$ .

$f' (- 2.1) = 7.6545$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $7.6545$ .

$7.6545$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 2.1$ la derivata è $7.6545$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 3, - \frac{6}{5})$ .

Crescente su $(- 3, - \frac{6}{5})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1.2, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.6$ nell'espressione.

$f' (- 0.6) = 5 {(- 0.6)}^{4} + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 0.6$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 0.6) = 5 \cdot 0.1296 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $5$ per $0.1296$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $- 0.6$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 \cdot - 0.216 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $36$ per $- 0.216$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Passaggio 7.2.1.5

Eleva $- 0.6$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 \cdot 0.36 + 54 (- 0.6)$

Passaggio 7.2.1.6

Moltiplica $81$ per $0.36$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 + 54 (- 0.6)$

Passaggio 7.2.1.7

Moltiplica $54$ per $- 0.6$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 - 32.4$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $7.776$ da $0.648$ .

$f' (- 0.6) = - 7.128 + 29.16 - 32.4$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 7.128$ e $29.16$ .

$f' (- 0.6) = 22.032 - 32.4$

Passaggio 7.2.2.3

Sottrai $32.4$ da $22.032$ .

$f' (- 0.6) = - 10.368$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 10.368$ .

$- 10.368$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 0.6$ la derivata è $- 10.368$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1.2, 0)$ .

Decrescente su $(- \frac{6}{5}, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 5 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Passaggio 8.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 5 + 36 \cdot 1 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $36$ per $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Passaggio 8.2.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 5 + 36 + 81 \cdot 1 + 54 (1)$

Passaggio 8.2.1.6

Moltiplica $81$ per $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54 (1)$

Passaggio 8.2.1.7

Moltiplica $54$ per $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Somma $5$ e $36$ .

$f' (1) = 41 + 81 + 54$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $41$ e $81$ .

$f' (1) = 122 + 54$

Passaggio 8.2.2.3

Somma $122$ e $54$ .

$f' (1) = 176$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $176$ .

$176$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $176$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 3), (- 3, - \frac{6}{5}), (0, \infty)$

Decrescente su: $(- \frac{6}{5}, 0)$

Passaggio 10