Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 x - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 1.1.2.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 x - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 x - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.10

Sottrai $4$ da $1$ .

$2 x - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.11

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 x + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.12

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $0$ .

$2 x + 2 x^{- 3} + 0$

Passaggio 1.1.2.13

Somma $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$2 x + 2 x^{- 3}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.3.2

$2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x + \frac{2}{x^{3}}$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x^{3}, 1$

Passaggio 2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{3}$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $x^{3}$ ciascun termine in $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ per $x^{3}$ .

$2 x \cdot x^{3} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$2 (x^{3} x) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{3} x^{1}) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{3 + 1} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 2.3.2.1.1.3

Somma $3$ e $1$ .

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{4} + 2 = 0 x^{3}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{3}$ .

$2 x^{4} + 2 = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 2.4.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{4} = - 2$

Passaggio 2.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{4} = - 2$ e semplifica.

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Passaggio 2.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{4} = - 2$ .

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.2.3.1

Dividi $- 2$ per $2$ .

$x^{4} = - 1$

Passaggio 2.4.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{- 1}$

Passaggio 2.4.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.4.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt[4]{- 1}$

Passaggio 2.4.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt[4]{- 1}$

Passaggio 2.4.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$

Passaggio 2.5

Escludi le soluzioni che non rendono $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ vera.

$Nessuna soluzione$

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{2}{x^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 2 (- 1) + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{- 1}$

Passaggio 6.2.1.3

Dividi $2$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 2 - 2$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$f' (- 1) = - 4$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 4$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 2 (1) + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (1) = 2 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 2 + \frac{2}{1}$

Passaggio 7.2.1.3

Dividi $2$ per $1$ .

$f' (1) = 2 + 2$

Passaggio 7.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$f' (1) = 4$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $4$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 0)$

Passaggio 9