Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x = 0$

Passaggio 2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = 2 x$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = x^{2}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 2 (- 1)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 2$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 2$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 2 (1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (1) = 2$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $2$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 0)$

Passaggio 8