Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{7 x - 7}{x + 7}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 7 x - 7$ e $g (x) = x + 7$ .

$\frac{(x + 7) \frac{d}{d x} [7 x - 7] - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(x + 7) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 7) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 7) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\frac{(x + 7) (7 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 7) (7 + 0) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $7$ e $0$ .

$\frac{(x + 7) \cdot 7 - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sposta $7$ alla sinistra di $x + 7$ .

$\frac{7 \cdot (x + 7) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) (1 + 0)}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) \cdot 1}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.10.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 x + 7 \cdot 7 - (7 x - 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 x + 7 \cdot 7 - (7 x) - - 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Moltiplica $7$ per $7$ .

$\frac{7 x + 49 - (7 x) - - 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\frac{7 x + 49 - 7 x - - 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$\frac{7 x + 49 - 7 x + 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Combina i termini opposti in $7 x + 49 - 7 x + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.2.1

Sottrai $7 x$ da $7 x$ .

$\frac{0 + 49 + 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2.2

Somma $0$ e $49$ .

$\frac{49 + 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.3

Somma $49$ e $7$ .

$f' (x) = \frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$ .

$\frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{56}{{(x + 7)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{56}{{(x + 7)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$56 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $56 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 7)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poni $x + 7$ uguale a $0$ .

$x + 7 = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 7$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \frac{7 x - 7}{x + 7}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$ .

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 7)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f' (- 8) = \frac{56}{{((- 8) + 7)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $- 8$ e $7$ .

$f' (- 8) = \frac{56}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 8) = \frac{56}{1}$

Passaggio 6.2.2

Dividi $56$ per $1$ .

$f' (- 8) = 56$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $56$ .

$56$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 8$ la derivata è $56$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 7)$ .

Crescente su $(- \infty, - 7)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 7, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f' (- 6) = \frac{56}{{((- 6) + 7)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Somma $- 6$ e $7$ .

$f' (- 6) = \frac{56}{1^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- 6) = \frac{56}{1}$

Passaggio 7.2.2

Dividi $56$ per $1$ .

$f' (- 6) = 56$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $56$ .

$56$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 6$ la derivata è $56$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 7, \infty)$ .

Crescente su $(- 7, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 7), (- 7, \infty)$

Passaggio 9