Calcolo Esempi

$f (x) = - \sqrt{x + 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 3}$ come ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 3$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Passaggio 1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Passaggio 1.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Passaggio 1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Passaggio 1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Passaggio 1.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Passaggio 1.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Passaggio 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = - (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Passaggio 1.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Passaggio 1.1.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Passaggio 1.1.10

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Passaggio 1.1.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

Passaggio 4.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}$

Passaggio 4.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 3}$ come ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.4

Semplifica.

$4 (x + 3) = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.6

Moltiplica $4$ per $3$ .

$4 x + 12 = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x + 12 = 0$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 12$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 12$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 12$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Passaggio 4.3.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 12}{4}$

Passaggio 4.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.3.1

Dividi $- 12$ per $4$ .

$x = - 3$

Passaggio 4.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 3}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 3 < 0$

Passaggio 4.5

Sottrai $3$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x < - 3$

Passaggio 4.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = - \sqrt{x + 3}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$ .

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 {((- 4) + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $- 4$ e $3$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Riscrivi ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Passaggio 6.2.1.3

Calcola l'esponente.

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Passaggio 6.2.1.4

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 i}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{1}{2 i}$ per il coniugato di $2 i$ per rendere il denominatore reale.

$f' (- 4) = - (\frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i})$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Combina.

$f' (- 4) = - \frac{1 i}{2 i i}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $i$ per $1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 i i}$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.3.1

Aggiungi le parentesi.

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Passaggio 6.2.3.3.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Passaggio 6.2.3.3.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Passaggio 6.2.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

Passaggio 6.2.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 i^{2}}$

Passaggio 6.2.3.3.6

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{- 2}$

Passaggio 6.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 4) = \frac{i}{2}$

Passaggio 6.2.6

La risposta finale è $\frac{i}{2}$ .

$\frac{i}{2}$

Passaggio 6.3

Con $x = - 4$ la derivata è $\frac{i}{2}$ . Poiché contiene un numero immaginario, la funzione non esiste su $(- \infty, - 3)$ .

La funzione non è reale su $(- \infty, - 3)$ poiché $f' (x)$ è immaginario

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2 {((- 2) + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Somma $- 2$ e $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $- \frac{1}{2}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 3, \infty)$ .

Decrescente su $(- 3, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- 3, \infty)$

Passaggio 9