Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 9$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9)) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Combina i termini opposti in $2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 9 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.1

Sottrai $2 x^{2} x$ da $2 x^{2} x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) + 0 - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.2

Somma $2 \cdot - 4 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x + 18 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.3

Somma $- 8 x$ e $18 x$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$10 x = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = 0$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{10}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $10$ .

$x = 0$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Risolvi ${(x + 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4.2.3

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Risolvi ${(x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.2.3.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 4.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 2, 2$

Passaggio 4.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = \frac{10 (- 3)}{{((- 3) + 2)}^{2} {((- 3) - 2)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $10$ per $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 3 + 2)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $- 3$ e $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 1)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 1)}^{2} {(- 5)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{1 {(- 5)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.4

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{1 \cdot 25}$

Passaggio 6.2.2.5

Moltiplica $25$ per $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{25}$

Passaggio 6.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 30$ e $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Scomponi $5$ da $- 30$ .

$f' (- 3) = \frac{5 (- 6)}{25}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.2.1

Scomponi $5$ da $25$ .

$f' (- 3) = \frac{5 \cdot - 6}{5 \cdot 5}$

Passaggio 6.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 3) = \frac{5 \cdot - 6}{5 \cdot 5}$

Passaggio 6.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 3) = \frac{- 6}{5}$

Passaggio 6.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 3) = - \frac{6}{5}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- \frac{6}{5}$ .

$- \frac{6}{5}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 3$ la derivata è $- \frac{6}{5}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 2)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = \frac{10 (- 1)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $- 1$ e $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1 {(- 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.4

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1 \cdot 9}$

Passaggio 7.2.2.5

Moltiplica $9$ per $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{9}$

Passaggio 7.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 1) = - \frac{10}{9}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- \frac{10}{9}$ .

$- \frac{10}{9}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- \frac{10}{9}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 2, 0)$ .

Decrescente su $(- 2, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \frac{10 (1)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Somma $1$ e $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{9 {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{9 \cdot 1}$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{9}$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $\frac{10}{9}$ .

$\frac{10}{9}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $\frac{10}{9}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, 2)$ .

Crescente su $(0, 2)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = \frac{10 (3)}{{((3) + 2)}^{2} {((3) - 2)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $10$ per $3$ .

$f' (3) = \frac{30}{{(3 + 2)}^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Somma $3$ e $2$ .

$f' (3) = \frac{30}{5^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f' (3) = \frac{30}{5^{2} \cdot 1^{2}}$

Passaggio 9.2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = \frac{30}{25 \cdot 1^{2}}$

Passaggio 9.2.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (3) = \frac{30}{25 \cdot 1}$

Passaggio 9.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Moltiplica $25$ per $1$ .

$f' (3) = \frac{30}{25}$

Passaggio 9.2.3.2

Elimina il fattore comune di $30$ e $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.2.1

Scomponi $5$ da $30$ .

$f' (3) = \frac{5 (6)}{25}$

Passaggio 9.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.2.2.1

Scomponi $5$ da $25$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}$

Passaggio 9.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}$

Passaggio 9.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (3) = \frac{6}{5}$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $\frac{6}{5}$ .

$\frac{6}{5}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $\frac{6}{5}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, 2), (2, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Passaggio 11