Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 80}{x - 9}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 80$ e $g (x) = x - 9$ .

$\frac{(x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 80] - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 80$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 80]$ .

$\frac{(x - 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 80]) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 80]) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 80$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 80$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x + 0) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 9$ .

$\frac{2 \cdot (x - 9) x - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (1 + 0)}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) \cdot 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 9) x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.2

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 80$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2} + 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 18 x + 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Scomponi $x^{2} - 18 x + 80$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $80$ e la cui somma è $- 18$ .

$- 10, - 8$

Passaggio 1.1.3.5.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$f' (x) = \frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(x - 10) (x - 8) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 8 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 10$

Passaggio 2.3.3

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 10) (x - 8) = 0$ vera.

$x = 10, 8$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $10, 8$ .

$10, 8$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poni $x - 9$ uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 9$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 8) \cup (8, 9) \cup (9, 10) \cup (10, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 8)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f' (7) = \frac{((7) - 10) ((7) - 8)}{{((7) - 9)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Sottrai $10$ da $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 (7 - 8)}{{(7 - 9)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Sottrai $8$ da $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(7 - 9)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $9$ da $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f' (7) = \frac{3}{4}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 7$ la derivata è $\frac{3}{4}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 8)$ .

Crescente su $(- \infty, 8)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(8, 9)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{17}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{((\frac{17}{2}) - 10) ((\frac{17}{2}) - 8)}{{((\frac{17}{2}) - 9)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Per scrivere $- 10$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

$- 10$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2}) (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 10 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.4.1

Moltiplica $- 10$ per $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 20}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.4.2

Sottrai $20$ da $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{- 3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.6

Per scrivere $- 8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.7

$- 8$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{17 - 8 \cdot 2}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.9.1

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{17 - 16}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.9.2

Sottrai $16$ da $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.10

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.10.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.10.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Per scrivere $- 9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

$- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.4.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 18}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.4.2

Sottrai $18$ da $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{- 1}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.6

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 7.2.2.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{2^{2}})}$

Passaggio 7.2.2.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 7.2.2.11

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (\frac{17}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

Passaggio 7.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{4}$ nel numeratore.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Passaggio 7.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Passaggio 7.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{17}{2}) = - 3$

Passaggio 7.2.5

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = \frac{17}{2}$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(8, 9)$ .

Decrescente su $(8, 9)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(9, 10)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{19}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{((\frac{19}{2}) - 10) ((\frac{19}{2}) - 8)}{{((\frac{19}{2}) - 9)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Per scrivere $- 10$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{(\frac{19}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

$- 10$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{(\frac{19}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2}) (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{19 - 10 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.4.1

Moltiplica $- 10$ per $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{19 - 20}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.4.2

Sottrai $20$ da $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{- 1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.6

Per scrivere $- 8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.7

$- 8$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{19 - 8 \cdot 2}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.9.1

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{19 - 16}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.9.2

Sottrai $16$ da $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.10

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.10.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.10.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Per scrivere $- 9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

$- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19 - 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.4.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19 - 18}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4.2

Sottrai $18$ da $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (\frac{19}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

Passaggio 8.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{4}$ nel numeratore.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Passaggio 8.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Passaggio 8.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{19}{2}) = - 3$

Passaggio 8.2.5

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = \frac{19}{2}$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(9, 10)$ .

Decrescente su $(9, 10)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(10, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $11$ nell'espressione.

$f' (11) = \frac{((11) - 10) ((11) - 8)}{{((11) - 9)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Sottrai $10$ da $11$ .

$f' (11) = \frac{1 (11 - 8)}{{(11 - 9)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $11 - 8$ per $1$ .

$f' (11) = \frac{11 - 8}{{(11 - 9)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.3

Sottrai $8$ da $11$ .

$f' (11) = \frac{3}{{(11 - 9)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Sottrai $9$ da $11$ .

$f' (11) = \frac{3}{2^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (11) = \frac{3}{4}$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 11$ la derivata è $\frac{3}{4}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(10, \infty)$ .

Crescente su $(10, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 8), (10, \infty)$

Decrescente su: $(8, 9), (9, 10)$

Passaggio 11