Calcolo Esempi

$f (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 1.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 1.1.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 1.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 1.1.5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 1.1.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 1.1.6.2

$\frac{2}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 1.1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 1.1.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 1.1.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Passaggio 1.1.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.10.2

Moltiplica $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $2 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}}$

Passaggio 4.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x - 1}}$

Passaggio 4.2

Imposta il denominatore in $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x - 1}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x - 1} = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x - 1})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica ${(3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 {(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.4

Semplifica.

$27 (x - 1) = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$27 x + 27 \cdot - 1 = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.6

Moltiplica $27$ per $- 1$ .

$27 x - 27 = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 x - 27 = 0$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Somma $27$ a entrambi i lati dell'equazione.

$27 x = 27$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 27$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{27}{27}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x}{27} = \frac{27}{27}$

Passaggio 4.3.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{27}{27}$

Passaggio 4.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.3.1

Dividi $27$ per $27$ .

$x = 1$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{2}{3 {((0) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (0) = \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 6.2.1.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Passaggio 6.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Passaggio 6.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (0) = \frac{2}{3 (- 1)}$

Passaggio 6.2.1.5

Calcola l'esponente.

$f' (0) = \frac{2}{3 \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (0) = \frac{2}{- 3}$

Passaggio 6.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (0) = - \frac{2}{3}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $- \frac{2}{3}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{2}{3 {((2) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$f' (2) = \frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (2) = \frac{2}{3 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (2) = \frac{2}{3}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $\frac{2}{3}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(1, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 1)$

Passaggio 9