Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} - 4}$ come ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 1.1.3.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Passaggio 1.1.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Passaggio 1.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Passaggio 1.1.5.3

$x$ e $\frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.3

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Risolvi ${(x + 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.2.3.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4.2.4

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.4.2

Risolvi ${(x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.2.4.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 4.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 2, 2$

Passaggio 4.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = - \frac{2 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{(9 - 4)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $4$ da $9$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{5^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{25}$

Passaggio 6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 3) = \frac{6}{25}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{6}{25}$ .

$\frac{6}{25}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 3$ la derivata è $\frac{6}{25}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 2)$ .

Crescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(1 - 4)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(- 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{9}$

Passaggio 7.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 1) = \frac{2}{9}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $\frac{2}{9}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 2, 0)$ .

Crescente su $(- 2, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(1^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1 - 4)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(- 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (1) = - \frac{2}{9}$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $- \frac{2}{9}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 2)$ .

Decrescente su $(0, 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = - \frac{2 (3)}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(9 - 4)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

Sottrai $4$ da $9$ .

$f' (3) = - \frac{6}{5^{2}}$

Passaggio 9.2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{25}$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $- \frac{6}{25}$ .

$- \frac{6}{25}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $- \frac{6}{25}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(2, \infty)$ .

Decrescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Decrescente su: $(0, 2), (2, \infty)$

Passaggio 11