Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 + x^{2}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((1 - x^{2}) x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.10

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.10.2

Moltiplica $1 + x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.12

Sposta $2$ alla sinistra di $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot ((1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.5.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Combina i termini opposti in $2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.2.1

Somma $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.2.2

Somma $2 x + 2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.3

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.7.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7.2

Riordina $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7.4

Applica la regola del prodotto a $(1 + x) (1 - x)$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 x = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(1 + x)}^{2} = 0$

${(1 - x)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2

Imposta ${(1 + x)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Imposta ${(1 + x)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(1 + x)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Risolvi ${(1 + x)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Poni $1 + x$ uguale a $0$ .

$1 + x = 0$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 4.2.3

Imposta ${(1 - x)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Imposta ${(1 - x)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(1 - x)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Risolvi ${(1 - x)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Poni $1 - x$ uguale a $0$ .

$1 - x = 0$

Passaggio 4.2.3.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 4.2.3.2.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.3.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.3.2.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.3.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 4.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 1, 1$

Passaggio 4.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 + 2)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} \cdot 3^{2}}$

Passaggio 6.2.2.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 3^{2}}$

Passaggio 6.2.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.2.6

Moltiplica $9$ per $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{9}$

Passaggio 6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{8}{9}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $- \frac{8}{9}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2 - 1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.3.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.3.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.3.5

Moltiplica $- - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + 1 (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Passaggio 7.2.3.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.3.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 + 1}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.3.8

Somma $2$ e $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.3.9

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 7.2.3.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 7.2.3.11

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 7.2.3.12

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{2^{2}}}$

Passaggio 7.2.3.13

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

Passaggio 7.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Dividi $- 4$ per $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

Passaggio 7.2.4.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{9}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

Passaggio 7.2.4.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{16}}$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (\frac{16}{9})$

Passaggio 7.2.6

Moltiplica $- 2 (\frac{16}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

$- 2$ e $\frac{16}{9}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{9}$

Passaggio 7.2.6.2

Moltiplica $- 2$ per $16$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 32}{9}$

Passaggio 7.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{32}{9}$

Passaggio 7.2.8

La risposta finale è $- \frac{32}{9}$ .

$- \frac{32}{9}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - \frac{1}{2}$ la derivata è $- \frac{32}{9}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1, 0)$ .

Decrescente su $(- 1, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2 + 1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 - 1}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.7

Sottrai $1$ da $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.9

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.11

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.12

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Passaggio 8.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Dividi $4$ per $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Passaggio 8.2.3.2

Moltiplica $\frac{9}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

Passaggio 8.2.3.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{16}}$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{16}{9})$

Passaggio 8.2.5

Moltiplica $2 (\frac{16}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

$2$ e $\frac{16}{9}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 16}{9}$

Passaggio 8.2.5.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{32}{9}$

Passaggio 8.2.6

La risposta finale è $\frac{32}{9}$ .

$\frac{32}{9}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = \frac{1}{2}$ la derivata è $\frac{32}{9}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, 1)$ .

Crescente su $(0, 1)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Somma $1$ e $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.3

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{9 \cdot 1}$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{9}$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $\frac{8}{9}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, 1), (1, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 1), (- 1, 0)$

Passaggio 11