Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{- 4}{x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Passaggio 1.1.1.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Passaggio 1.1.1.3

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ come ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 2 x - 3$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 2 x - 3$ .

$- 4 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$4 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Passaggio 1.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.1.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.1.3.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.1.3.7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Passaggio 1.1.3.8

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

$4$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Passaggio 1.1.5.2

Riordina i fattori di $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$ .

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $2 x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $2 x - 2$ uguale a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $2 x - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 2$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.3.1

Dividi $2$ per $2$ .

$x = 1$

Passaggio 2.4

Imposta $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ uguale a $0$ .

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 = 0$

Passaggio 2.4.2.2

Poiché $4 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ vera.

$x = 1$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $1$ .

$1$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 3$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 4.2.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

${((x - 3) (x + 1))}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $(x - 3) (x + 1)$ .

${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.3

Imposta ${(x - 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Imposta ${(x - 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Risolvi ${(x - 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 4.2.3.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 4.2.4

Imposta ${(x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Imposta ${(x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.4.2

Risolvi ${(x + 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Poni $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 4.2.4.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 4.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ vera.

$x = 3, - 1$

Passaggio 4.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 1, x = 3$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{({(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 + 4 - 3)}^{2}})$

Passaggio 6.2.1.3

Somma $4$ e $4$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

Passaggio 6.2.1.4

Sottrai $3$ da $8$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

Passaggio 6.2.1.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{25})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = (- 4 - 2) (\frac{4}{25})$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $2$ da $- 4$ .

$f' (- 2) = - 6 (\frac{4}{25})$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $- 6 (\frac{4}{25})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

$- 6$ e $\frac{4}{25}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 6 \cdot 4}{25}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 24}{25}$

Passaggio 6.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{24}{25}$

Passaggio 6.2.5

La risposta finale è $- \frac{24}{25}$ .

$- \frac{24}{25}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $- \frac{24}{25}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{({(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 + 0 - 3)}^{2}})$

Passaggio 7.2.1.3

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

Passaggio 7.2.1.4

Sottrai $3$ da $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

Passaggio 7.2.1.5

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{9})$

Passaggio 7.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f' (0) = (0 - 2) (\frac{4}{9})$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f' (0) = - 2 (\frac{4}{9})$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $- 2 (\frac{4}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

$- 2$ e $\frac{4}{9}$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 4}{9}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f' (0) = \frac{- 8}{9}$

Passaggio 7.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (0) = - \frac{8}{9}$

Passaggio 7.2.5

La risposta finale è $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $- \frac{8}{9}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1, 1)$ .

Decrescente su $(- 1, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{({(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 4 - 3)}^{2}})$

Passaggio 8.2.1.3

Sottrai $4$ da $4$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

Passaggio 8.2.1.4

Sottrai $3$ da $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

Passaggio 8.2.1.5

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{9})$

Passaggio 8.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (2) = (4 - 2) (\frac{4}{9})$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$f' (2) = 2 (\frac{4}{9})$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $2 (\frac{4}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

$2$ e $\frac{4}{9}$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 4}{9}$

Passaggio 8.2.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{9}$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $\frac{8}{9}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, 3)$ .

Crescente su $(1, 3)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{({(4)}^{2} - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 8 - 3)}^{2}})$

Passaggio 9.2.1.3

Sottrai $8$ da $16$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

Passaggio 9.2.1.4

Sottrai $3$ da $8$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

Passaggio 9.2.1.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{25})$

Passaggio 9.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (4) = (8 - 2) (\frac{4}{25})$

Passaggio 9.2.2.2

Sottrai $2$ da $8$ .

$f' (4) = 6 (\frac{4}{25})$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $6 (\frac{4}{25})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

$6$ e $\frac{4}{25}$ .

$f' (4) = \frac{6 \cdot 4}{25}$

Passaggio 9.2.3.2

Moltiplica $6$ per $4$ .

$f' (4) = \frac{24}{25}$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $\frac{24}{25}$ .

$\frac{24}{25}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 4$ la derivata è $\frac{24}{25}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(3, \infty)$ .

Crescente su $(3, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(1, 3), (3, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 1), (- 1, 1)$

Passaggio 11