Calcolo Esempi

$f (x) = 3^{- x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 3^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (3^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $3$ .

$f' (x) = 3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- \frac{d}{d x} x)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \cdot - 1$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $3^{- x} \ln (3)$ .

$f' (x) = - 1 \cdot (3^{- x} \ln (3))$

Passaggio 1.1.2.3.3

Riscrivi $- 1 \cdot 3^{- x}$ come $- 3^{- x}$ .

$f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3^{- x} \ln (3)$ .

$- 3^{- x} \ln (3)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3^{- x} \ln (3) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3^{- x} \ln (3) = 0$

Passaggio 2.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Nessun punto rende la derivata $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ uguale a $0$ o indefinita. L'intervallo per verificare se $f (x) = 3^{- x}$ è crescente o decrescente è $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero, come $1$ , dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ per verificare se il risultato è positivo o negativo. Se è negativo, il grafico è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ . Se è positivo, il grafico è crescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - 3^{- (1)} \ln (3)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (1) = - 3^{- 1} \ln (3)$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{3} \cdot \ln (3)$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $- \frac{1}{3} \ln (3)$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Riordina $\ln (3)$ e $\frac{1}{3}$ .

$f' (1) = - (\frac{1}{3} \cdot \ln (3))$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (3)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$f' (1) = - \ln (3^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ .

$- \ln (3^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6

Il risultato della sostituzione di $1$ in $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ è $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ , che è negativo; quindi, il grafico è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

Decrescente su $(- \infty, \infty)$

Passaggio 7

Decrescente sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ significa che la funzione è sempre decrescente.

Sempre decrescente

Passaggio 8