Calcolo Esempi

$f (x) = 3^{- x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = 3^{x}$ e

$g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (3^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è

$a^{u} \ln (a)$ dove

$a$ =

$3$ .

$f' (x) = 3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$- x$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- x$ rispetto a

$x$ è

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- \frac{d}{d x} x)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \cdot - 1$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sposta

$- 1$ alla sinistra di

$3^{- x} \ln (3)$ .

$f' (x) = - 1 \cdot (3^{- x} \ln (3))$

Passaggio 1.1.2.3.3

Riscrivi

$- 1 \cdot 3^{- x}$ come

$- 3^{- x}$ .

$f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$- 3^{- x} \ln (3)$ .

$- 3^{- x} \ln (3)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a

$0$ quindi risolvi l'equazione

$- 3^{- x} \ln (3) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a

$0$ .

$- 3^{- x} \ln (3) = 0$

Passaggio 2.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di

$x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia

$0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Nessun punto rende la derivata

$f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ uguale a

$0$ o indefinita. L'intervallo per verificare se

$f (x) = 3^{- x}$ è crescente o decrescente è

$(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero, come

$1$ , dell'intervallo

$(- \infty, \infty)$ nella derivata

$f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ per verificare se il risultato è positivo o negativo. Se è negativo, il grafico è decrescente nell'intervallo

$(- \infty, \infty)$ . Se è positivo, il grafico è crescente nell'intervallo

$(- \infty, \infty)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$1$ nell'espressione.

$f' (1) = - 3^{- (1)} \ln (3)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$f' (1) = - 3^{- 1} \ln (3)$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{3} \cdot \ln (3)$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica

$- \frac{1}{3} \ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Riordina

$\ln (3)$ e

$\frac{1}{3}$ .

$f' (1) = - (\frac{1}{3} \cdot \ln (3))$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica

$\frac{1}{3} \ln (3)$ spostando

$\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$f' (1) = - \ln (3^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è

$- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ .

$- \ln (3^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6

Il risultato della sostituzione di

$1$ in

$f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ è

$- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ , che è negativo; quindi, il grafico è decrescente nell'intervallo

$(- \infty, \infty)$ .

Decrescente su

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 7

Decrescente sull'intervallo

$(- \infty, \infty)$ significa che la funzione è sempre decrescente.

Sempre decrescente

Passaggio 8