Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 36}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{x^{2} - 36}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 36$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $x^{2} - 36$ per $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 36$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.1.9

$2$ e $\frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.2.2

Moltiplica $2$ per $- 36$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 2 x^{2} - 72 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Somma $72$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{2} = 72$

Passaggio 2.3.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = 72$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = 72$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{72}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Dividi $72$ per $- 2$ .

$x^{2} = - 36$

Passaggio 2.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- 36}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $- 36$ come $- 1 (36)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (36)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

Passaggio 2.3.4.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

Passaggio 2.3.4.4

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

Passaggio 2.3.4.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 6$

Passaggio 2.3.4.6

Sposta $6$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 6 i$

Passaggio 2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 6 i$

Passaggio 2.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 6 i$

Passaggio 2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 6 i, - 6 i$

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x^{2} - 36)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

${(x^{2} - 6^{2})}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 6$ .

${((x + 6) (x - 6))}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 6) (x - 6)$ .

${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.3

Imposta ${(x + 6)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Imposta ${(x + 6)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Risolvi ${(x + 6)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Poni $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 4.2.3.2.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 4.2.4

Imposta ${(x - 6)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Imposta ${(x - 6)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.4.2

Risolvi ${(x - 6)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Poni $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 4.2.4.2.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 4.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 6, 6$

Passaggio 4.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 6, x = 6$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 6)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 7$ nell'espressione.

$f' (- 7) = \frac{- 2 {(- 7)}^{2} - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 7$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 98 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Sottrai $72$ da $- 98$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 7$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $36$ da $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $13$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{169}$

Passaggio 6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 7) = - \frac{170}{169}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 7$ la derivata è $- \frac{170}{169}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 6)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 6)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 6, 6)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} - 72}{{({(0)}^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Sottrai $72$ da $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0 - 36)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $36$ da $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(- 36)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $- 36$ alla potenza di $2$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{1296}$

Passaggio 7.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 72$ e $1296$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1

Scomponi $72$ da $- 72$ .

$f' (0) = \frac{72 (- 1)}{1296}$

Passaggio 7.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.2.1

Scomponi $72$ da $1296$ .

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

Passaggio 7.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

Passaggio 7.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (0) = \frac{- 1}{18}$

Passaggio 7.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (0) = - \frac{1}{18}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- \frac{1}{18}$ .

$- \frac{1}{18}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $- \frac{1}{18}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 6, 6)$ .

Decrescente su $(- 6, 6)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(6, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f' (7) = \frac{- 2 {(7)}^{2} - 72}{{({(7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f' (7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $49$ .

$f' (7) = \frac{- 98 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.3

Sottrai $72$ da $- 98$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $36$ da $49$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $13$ alla potenza di $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{169}$

Passaggio 8.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (7) = - \frac{170}{169}$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 7$ la derivata è $- \frac{170}{169}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(6, \infty)$ .

Decrescente su $(6, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, - 6), (- 6, 6), (6, \infty)$

Passaggio 10