Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{3} - 33 x^{2} - 240 x + 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 33 x^{2} - 240 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 33 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 33 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 33 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 33 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 33 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 33 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 33$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 33 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 33 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 33 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 33 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 33$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 240 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 240$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 240 x$ rispetto a $x$ è $- 240 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x - 240 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x - 240 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 240$ per $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x - 240 + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x - 240 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $12 x^{2} - 66 x - 240$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x - 240$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} - 66 x - 240$ .

$12 x^{2} - 66 x - 240$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} - 66 x - 240 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{2} - 66 x - 240 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $6$ da $12 x^{2} - 66 x - 240$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $6$ da $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) - 66 x - 240 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $6$ da $- 66 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 11 x) - 240 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $6$ da $- 240$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 11 x) + 6 (- 40) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $6$ da $6 (2 x^{2}) + 6 (- 11 x)$ .

$6 (2 x^{2} - 11 x) + 6 (- 40) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $6$ da $6 (2 x^{2} - 11 x) + 6 (- 40)$ .

$6 (2 x^{2} - 11 x - 40) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 40 = - 80$ e la cui somma è $b = - 11$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 x$ .

$6 (2 x^{2} - 11 x - 40) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 11$ come $5$ più $- 16$ .

$6 (2 x^{2} + (5 - 16) x - 40) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 (2 x^{2} + 5 x - 16 x - 40) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$6 ((2 x^{2} + 5 x) - 16 x - 40) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$6 (x (2 x + 5) - 8 (2 x + 5)) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 5$ .

$6 ((2 x + 5) (x - 8)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (2 x + 5) (x - 8) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$x - 8 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $2 x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $2 x + 5$ uguale a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $2 x + 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 5$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 5$ e semplifica.

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Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 5$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5}{2}$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (2 x + 5) (x - 8) = 0$ vera.

$x = - \frac{5}{2}, 8$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- \frac{5}{2}, 8$ .

$- \frac{5}{2}, 8$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, 8) \cup (8, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{5}{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3.5$ nell'espressione.

$f' (- 3.5) = 12 {(- 3.5)}^{2} - 66 \cdot - 3.5 - 240$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 3.5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3.5) = 12 \cdot 12.25 - 66 \cdot - 3.5 - 240$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $12$ per $12.25$ .

$f' (- 3.5) = 147 - 66 \cdot - 3.5 - 240$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 66$ per $- 3.5$ .

$f' (- 3.5) = 147 + 231 - 240$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $147$ e $231$ .

$f' (- 3.5) = 378 - 240$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $240$ da $378$ .

$f' (- 3.5) = 138$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $138$ .

$138$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 3.5$ la derivata è $138$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - \frac{5}{2})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{5}{2})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2.5, 8)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.75$ nell'espressione.

$f' (2.75) = 12 {(2.75)}^{2} - 66 \cdot 2.75 - 240$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $2.75$ alla potenza di $2$ .

$f' (2.75) = 12 \cdot 7.5625 - 66 \cdot 2.75 - 240$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $12$ per $7.5625$ .

$f' (2.75) = 90.75 - 66 \cdot 2.75 - 240$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 66$ per $2.75$ .

$f' (2.75) = 90.75 - 181.5 - 240$

Passaggio 6.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $181.5$ da $90.75$ .

$f' (2.75) = - 90.75 - 240$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $240$ da $- 90.75$ .

$f' (2.75) = - 330.75$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 330.75$ .

$- 330.75$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 2.75$ la derivata è $- 330.75$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 2.5, 8)$ .

Decrescente su $(- \frac{5}{2}, 8)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(8, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$f' (9) = 12 {(9)}^{2} - 66 \cdot 9 - 240$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f' (9) = 12 \cdot 81 - 66 \cdot 9 - 240$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $12$ per $81$ .

$f' (9) = 972 - 66 \cdot 9 - 240$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 66$ per $9$ .

$f' (9) = 972 - 594 - 240$

Passaggio 7.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $594$ da $972$ .

$f' (9) = 378 - 240$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $240$ da $378$ .

$f' (9) = 138$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $138$ .

$138$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 9$ la derivata è $138$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(8, \infty)$ .

Crescente su $(8, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - \frac{5}{2}), (8, \infty)$

Decrescente su: $(- \frac{5}{2}, 8)$

Passaggio 9