Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{5} - 5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $15 x^{4} - 15 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$15 u^{2} - 15 u = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $15 u$ da $15 u^{2} - 15 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $15 u$ da $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 15 u = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Scomponi $15 u$ da $- 15 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

Passaggio 2.2.3.3

Scomponi $15 u$ da $15 u (u) + 15 u (- 1)$ .

$15 u (u - 1) = 0$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} - 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 1$

Passaggio 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 2.5.2.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 2.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 2.5.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 2.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ vera.

$x = 0, 1, - 1$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 1, - 1$ .

$0, 1, - 1$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 15 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 2) = 15 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $15$ per $16$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 \cdot 4$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 15$ per $4$ .

$f' (- 2) = 240 - 60$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $60$ da $240$ .

$f' (- 2) = 180$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $180$ .

$180$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $180$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 1)$ .

Crescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (1 (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6

$15$ e $\frac{1}{16}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Passaggio 6.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Passaggio 6.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Passaggio 6.2.1.9

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 6.2.1.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 6.2.1.11

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

Passaggio 6.2.1.12

$- 15$ e $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

Passaggio 6.2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $- \frac{15}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 6.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $\frac{15}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

Passaggio 6.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Moltiplica $- 15$ per $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

Passaggio 6.2.5.2

Sottrai $60$ da $15$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

Passaggio 6.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

Passaggio 6.2.7

La risposta finale è $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - \frac{1}{2}$ la derivata è $- \frac{45}{16}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1, 0)$ .

Decrescente su $(- 1, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 {(\frac{1}{2})}^{4} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4

$15$ e $\frac{1}{16}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 7.2.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 7.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

Passaggio 7.2.1.8

$- 15$ e $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

Passaggio 7.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

Passaggio 7.2.2

Per scrivere $- \frac{15}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 7.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $\frac{15}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

Passaggio 7.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Moltiplica $- 15$ per $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

Passaggio 7.2.5.2

Sottrai $60$ da $15$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

Passaggio 7.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

Passaggio 7.2.7

La risposta finale è $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = \frac{1}{2}$ la derivata è $- \frac{45}{16}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 1)$ .

Decrescente su $(0, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 15 {(2)}^{4} - 15 {(2)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (2) = 15 \cdot 16 - 15 {(2)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $15$ per $16$ .

$f' (2) = 240 - 15 {(2)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = 240 - 15 \cdot 4$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 15$ per $4$ .

$f' (2) = 240 - 60$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $60$ da $240$ .

$f' (2) = 180$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $180$ .

$180$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $180$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Decrescente su: $(- 1, 0), (0, 1)$

Passaggio 10