Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 6$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 4 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$8 x + 4 + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 x + 4 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $8 x + 4$ e $0$ .

$f' (x) = 8 x + 4$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $8 x + 4$ .

$8 x + 4$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $8 x + 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$8 x + 4 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 x = - 4$

Passaggio 2.3

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = - 4$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 4}{8}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 4}{8}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{8}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$x = \frac{4 (- 1)}{8}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = 8 x + 4$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 6$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (- \frac{3}{2}) + 4$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (\frac{- 3}{2}) + 4$

Passaggio 5.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 (4) (\frac{- 3}{2}) + 4$

Passaggio 5.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{- 3}{2})) + 4$

Passaggio 5.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot - 3 + 4$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 12 + 4$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 12$ e $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 8$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 8$ .

$- 8$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - \frac{3}{2}$ la derivata è $- 8$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{1}{2})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{1}{2}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{1}{2}) + 4$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (4) (\frac{1}{2}) + 4$

Passaggio 6.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{1}{2})) + 4$

Passaggio 6.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 + 4$

Passaggio 6.2.2

Somma $4$ e $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 8$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $8$ .

$8$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = \frac{1}{2}$ la derivata è $8$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Crescente su $(- \frac{1}{2}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \frac{1}{2}, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - \frac{1}{2})$

Passaggio 8