Calcolo Esempi

$f (x) = 4 (x + 2) \sqrt{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 (x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 (x + 2) x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [(x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [(x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 2$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 ((x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 1.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 1.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 1.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 1.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 1.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 ((x + 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 1.1.8.3

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Passaggio 1.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))$

Passaggio 1.1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [2]))$

Passaggio 1.1.11

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0))$

Passaggio 1.1.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Passaggio 1.1.12.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.13.3.1

$x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.3

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.13.3.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.13.3.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$4 \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.3.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$4 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.4

$4$ e $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.5

Scomponi $2$ da $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.13.3.6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.6.4

Dividi $2 x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.7

$2$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.8

Elimina il fattore comune.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.9

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.10

$4$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.3.11

Somma $2 x^{\frac{1}{2}}$ e $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Passaggio 2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $x^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 x^{\frac{1 + 1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$6 x^{\frac{2}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$6 x^{1} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Semplifica $6 x^{1}$ .

$6 x + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$6 x + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$6 x + 4 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x + 4 = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x = - 4$

Passaggio 2.4.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = - 4$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{6}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{6}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{3}$

Passaggio 2.5

Escludi le soluzioni che non rendono $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ vera.

$Nessuna soluzione$

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$6 \sqrt{x^{1}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$6 \sqrt{x^{1}} + \frac{4}{\sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 4.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$6 \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 4.1.4

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$6 \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}}$

Passaggio 4.2

Imposta il denominatore in $\frac{4}{\sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{x} = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 4.5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = 4 (x + 2) \sqrt{x}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 6 {(- 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Riscrivi ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 1) = 6 \sqrt{- 1} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Calcola l'esponente.

$f' (- 1) = 6 \sqrt{- 1} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Riscrivi ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{\sqrt{- 1}}$

Passaggio 6.2.1.4.2

Calcola l'esponente.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{\sqrt{- 1}}$

Passaggio 6.2.1.4.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{i}$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{4}{i}$ per il coniugato di $i$ per rendere il denominatore reale.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{i} \cdot \frac{i}{i}$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.6.1

Combina.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

Passaggio 6.2.1.6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.6.2.1

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

Passaggio 6.2.1.6.2.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

Passaggio 6.2.1.6.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i^{1 + 1}}$

Passaggio 6.2.1.6.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i^{2}}$

Passaggio 6.2.1.6.2.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{- 1}$

Passaggio 6.2.1.7

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{4 i}{- 1}$ .

$f' (- 1) = 6 i - 1 \cdot (4 i)$

Passaggio 6.2.1.8

Riscrivi $- 1 \cdot (4 i)$ come $- (4 i)$ .

$f' (- 1) = 6 i - (4 i)$

Passaggio 6.2.1.9

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = 6 i - 4 i$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $4 i$ da $6 i$ .

$f' (- 1) = 2 i$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $2 i$ .

$2 i$

Passaggio 6.3

Con $x = - 1$ la derivata è $2 i$ . Poiché contiene un numero immaginario, la funzione non esiste su $(- \infty, 0)$ .

La funzione non è reale su $(- \infty, 0)$ poiché $f' (x)$ è immaginario

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 6 {(1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 6 \cdot 1 + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f' (1) = 6 + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 6 + \frac{4}{1}$

Passaggio 7.2.1.4

Dividi $4$ per $1$ .

$f' (1) = 6 + 4$

Passaggio 7.2.2

Somma $6$ e $4$ .

$f' (1) = 10$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $10$ .

$10$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $10$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, \infty)$

Passaggio 9