Calcolo Esempi

$f (x) = 20 x^{3} - 3 x^{5}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 x^{3} - 3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$f' (x) = 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 60 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{5}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f' (x) = 60 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$f' (x) = 60 x^{2} - 15 x^{4}$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 15 x^{4} + 60 x^{2}$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 15 u^{2} + 60 u = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $15 u$ da $- 15 u^{2} + 60 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $15 u$ da $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 60 u = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Scomponi $15 u$ da $60 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (4) = 0$

Passaggio 2.2.3.3

Scomponi $15 u$ da $15 u (- u) + 15 u (4)$ .

$15 u (- u + 4) = 0$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $- x^{2} + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $- x^{2} + 4$ uguale a $0$ .

$- x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $- x^{2} + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 4$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 4$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 2.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 2.5.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 2.5.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 2.5.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$ vera.

$x = 0, 2, - 2$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 2, - 2$ .

$0, 2, - 2$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = - 15 {(- 3)}^{4} + 60 {(- 3)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 3) = - 15 \cdot 81 + 60 {(- 3)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 15$ per $81$ .

$f' (- 3) = - 1215 + 60 {(- 3)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3) = - 1215 + 60 \cdot 9$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $60$ per $9$ .

$f' (- 3) = - 1215 + 540$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 1215$ e $540$ .

$f' (- 3) = - 675$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 675$ .

$- 675$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 3$ la derivata è $- 675$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 2)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - 15 {(- 1)}^{4} + 60 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 1) = - 15 \cdot 1 + 60 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$f' (- 1) = - 15 + 60 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - 15 + 60 \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $60$ per $1$ .

$f' (- 1) = - 15 + 60$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 15$ e $60$ .

$f' (- 1) = 45$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $45$ .

$45$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $45$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 2, 0)$ .

Crescente su $(- 2, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - 15 {(1)}^{4} + 60 {(1)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - 15 \cdot 1 + 60 {(1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$f' (1) = - 15 + 60 {(1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - 15 + 60 \cdot 1$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $60$ per $1$ .

$f' (1) = - 15 + 60$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 15$ e $60$ .

$f' (1) = 45$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $45$ .

$45$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $45$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, 2)$ .

Crescente su $(0, 2)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = - 15 {(3)}^{4} + 60 {(3)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f' (3) = - 15 \cdot 81 + 60 {(3)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 15$ per $81$ .

$f' (3) = - 1215 + 60 {(3)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = - 1215 + 60 \cdot 9$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $60$ per $9$ .

$f' (3) = - 1215 + 540$

Passaggio 8.2.2

Somma $- 1215$ e $540$ .

$f' (3) = - 675$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 675$ .

$- 675$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $- 675$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(2, \infty)$ .

Decrescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 2, 0), (0, 2)$

Decrescente su: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Passaggio 10