Calcolo Esempi

$f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 1.1.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 1.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$6 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.9

$6$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.10

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.11

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.12.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 1.1.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.12.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $2 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 4.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Passaggio 4.2

Imposta il denominatore in $\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Passaggio 4.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.3.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 4.3.3.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 4.3.3.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 4.3.3.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 6.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 6.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 6.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{1}$

Passaggio 6.2.2

Dividi $2$ per $1$ .

$f' (- 1) = 2$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $2$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \frac{2}{{(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = \frac{2}{1}$

Passaggio 7.2.2

Dividi $2$ per $1$ .

$f' (1) = 2$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $2$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Passaggio 9