Calcolo Esempi

$f (x) = 5 + 4 x^{2} - x^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 + 4 x^{2} - x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Passaggio 1.1.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 0 + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - 4 x^{3}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Somma $0$ e $8 x$ .

$f' (x) = 8 x - 4 x^{3}$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i termini.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x^{3} + 8 x$ .

$- 4 x^{3} + 8 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x^{3} + 8 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x^{3} + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 8 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $- 4 x$ da $8 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 2 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 2)$ .

$- 4 x (x^{2} - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Passaggio 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 4 x (x^{2} - 2) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$ .

$0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \sqrt{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.4142135$ nell'espressione.

$f' (- 2.4142135) = - 4 {(- 2.4142135)}^{3} + 8 (- 2.4142135)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2.4142135$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2.4142135) = - 4 \cdot - 14.07106672 + 8 (- 2.4142135)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 14.07106672$ .

$f' (- 2.4142135) = 56.28426688 + 8 (- 2.4142135)$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $8$ per $- 2.4142135$ .

$f' (- 2.4142135) = 56.28426688 - 19.313708$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $19.313708$ da $56.28426688$ .

$f' (- 2.4142135) = 36.97055888$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $36.97055888$ .

$36.97055888$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 2.4142135$ la derivata è $36.97055888$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - \sqrt{2})$ .

Crescente su $(- \infty, - \sqrt{2})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1.4142135, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.70710675$ nell'espressione.

$f' (- 0.70710675) = - 4 {(- 0.70710675)}^{3} + 8 (- 0.70710675)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.70710675$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 0.70710675) = - 4 \cdot - 0.35355334 + 8 (- 0.70710675)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 0.35355334$ .

$f' (- 0.70710675) = 1.41421337 + 8 (- 0.70710675)$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $8$ per $- 0.70710675$ .

$f' (- 0.70710675) = 1.41421337 - 5.656854$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $5.656854$ da $1.41421337$ .

$f' (- 0.70710675) = - 4.24264062$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 4.24264062$ .

$- 4.24264062$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 0.70710675$ la derivata è $- 4.24264062$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1.4142135, 0)$ .

Decrescente su $(- \sqrt{2}, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \sqrt{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.70710675$ nell'espressione.

$f' (0.70710675) = - 4 {(0.70710675)}^{3} + 8 (0.70710675)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.70710675$ alla potenza di $3$ .

$f' (0.70710675) = - 4 \cdot 0.35355334 + 8 (0.70710675)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $0.35355334$ .

$f' (0.70710675) = - 1.41421337 + 8 (0.70710675)$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $8$ per $0.70710675$ .

$f' (0.70710675) = - 1.41421337 + 5.656854$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 1.41421337$ e $5.656854$ .

$f' (0.70710675) = 4.24264062$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $4.24264062$ .

$4.24264062$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 0.70710675$ la derivata è $4.24264062$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \sqrt{2})$ .

Crescente su $(0, \sqrt{2})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\sqrt{2}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.4142135$ nell'espressione.

$f' (2.4142135) = - 4 {(2.4142135)}^{3} + 8 (2.4142135)$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $2.4142135$ alla potenza di $3$ .

$f' (2.4142135) = - 4 \cdot 14.07106672 + 8 (2.4142135)$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $14.07106672$ .

$f' (2.4142135) = - 56.28426688 + 8 (2.4142135)$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $8$ per $2.4142135$ .

$f' (2.4142135) = - 56.28426688 + 19.313708$

Passaggio 8.2.2

Somma $- 56.28426688$ e $19.313708$ .

$f' (2.4142135) = - 36.97055888$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 36.97055888$ .

$- 36.97055888$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 2.4142135$ la derivata è $- 36.97055888$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(\sqrt{2}, \infty)$ .

Decrescente su $(\sqrt{2}, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - \sqrt{2}), (0, \sqrt{2})$

Decrescente su: $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, \infty)$

Passaggio 10