Calcolo Esempi

$f (x) = 6 x^{4} + 24 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{4} + 24 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{4}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $6$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x^{3}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 24 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $24$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 72 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $24 x^{3} + 72 x^{2}$ .

$24 x^{3} + 72 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $24 x^{3} + 72 x^{2} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$24 x^{3} + 72 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $24 x^{2}$ da $24 x^{3} + 72 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $24 x^{2}$ da $24 x^{3}$ .

$24 x^{2} (x) + 72 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $24 x^{2}$ da $72 x^{2}$ .

$24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (3) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $24 x^{2}$ da $24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (3)$ .

$24 x^{2} (x + 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $24 x^{2} (x + 3) = 0$ vera.

$x = 0, - 3$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - 3$ .

$0, - 3$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = 24 {(- 4)}^{3} + 72 {(- 4)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 4) = 24 \cdot - 64 + 72 {(- 4)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $24$ per $- 64$ .

$f' (- 4) = - 1536 + 72 {(- 4)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = - 1536 + 72 \cdot 16$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $72$ per $16$ .

$f' (- 4) = - 1536 + 1152$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 1536$ e $1152$ .

$f' (- 4) = - 384$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 384$ .

$- 384$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 4$ la derivata è $- 384$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 3)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 3)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 6.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{27}{2^{3}}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 6.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{27}{8}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (\frac{- 27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5.2

Scomponi $8$ da $24$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (3) (\frac{- 27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 \cdot (3 (\frac{- 27}{8})) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = 3 \cdot - 27 + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $3$ per $- 27$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Passaggio 6.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Passaggio 6.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Passaggio 6.2.1.9

Moltiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 6.2.1.10

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{9}{2^{2}})$

Passaggio 6.2.1.11

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{9}{4})$

Passaggio 6.2.1.12

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.12.1

Scomponi $4$ da $72$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 4 (18) (\frac{9}{4})$

Passaggio 6.2.1.12.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 4 \cdot (18 (\frac{9}{4}))$

Passaggio 6.2.1.12.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 18 \cdot 9$

Passaggio 6.2.1.13

Moltiplica $18$ per $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 162$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 81$ e $162$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 81$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $81$ .

$81$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - \frac{3}{2}$ la derivata è $81$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 3, 0)$ .

Crescente su $(- 3, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 24 {(1)}^{3} + 72 {(1)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 72 {(1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $24$ per $1$ .

$f' (1) = 24 + 72 {(1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 24 + 72 \cdot 1$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $72$ per $1$ .

$f' (1) = 24 + 72$

Passaggio 7.2.2

Somma $24$ e $72$ .

$f' (1) = 96$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $96$ .

$96$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $96$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 3, 0), (0, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 3)$

Passaggio 9