Calcolo Esempi

$f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$- 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 20 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 20 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $- 20 x^{3} - 8 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 20 x^{3} - 8 x$ .

$- 20 x^{3} - 8 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 20 x^{3} - 8 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $- 4 x$ da $- 20 x^{3} - 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $- 4 x$ da $- 20 x^{3}$ .

$- 4 x (5 x^{2}) - 8 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $- 4 x$ da $- 8 x$ .

$- 4 x (5 x^{2}) - 4 x \cdot 2 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x (5 x^{2}) - 4 x (2)$ .

$- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $5 x^{2} + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $5 x^{2} + 2$ uguale a $0$ .

$5 x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $5 x^{2} + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{2} = - 2$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x^{2} = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x^{2} = - 2$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{5}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{2}{5}$

Passaggio 2.5.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{5}}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{5}}$

Passaggio 2.5.2.4.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{2}{5}}$ come $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 2.5.2.4.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 2.5.2.4.5

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.5.2.4.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 2.5.2.4.5.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 2.5.2.4.5.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 2.5.2.4.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.5.2.4.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.5.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.5.2.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.2.4.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.2.4.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 2.5.2.4.5.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 2.5.2.4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.2.4.6.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Passaggio 2.5.2.4.6.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 2.5.2.4.7

$i$ e $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 2.5.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.5.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 2.5.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 2.5.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - 20 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = - 20 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 20$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 - 8 \cdot - 1$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 + 8$

Passaggio 5.2.2

Somma $20$ e $8$ .

$f' (- 1) = 28$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $28$ .

$28$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $28$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - 20 {(1)}^{3} - 8 \cdot 1$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - 20 \cdot 1 - 8 \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 20$ per $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8 \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $8$ da $- 20$ .

$f' (1) = - 28$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 28$ .

$- 28$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $- 28$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, \infty)$ .

Decrescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 0)$

Decrescente su: $(0, \infty)$

Passaggio 8