Calcolo Esempi

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64 x^{2}$ rispetto a $x$ è $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $54$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{54}{x}$ rispetto a $x$ è $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$128 x + 54 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $54$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + 0$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 54 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1

$- 54$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 54}{x^{2}} + 0$

Passaggio 1.1.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$128 x - \frac{54}{x^{2}} + 0$

Passaggio 1.1.5.2.3

Somma $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ e $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ .

$128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x^{2}, 1$

Passaggio 2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ per $x^{2}$ .

$128 x \cdot x^{2} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$128 (x^{2} x) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$128 (x^{2} x^{1}) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$128 x^{2 + 1} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$128 x^{3} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{54}{x^{2}}$ nel numeratore.

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$128 x^{3} - 54 = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{2}$ .

$128 x^{3} - 54 = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $54$ a entrambi i lati dell'equazione.

$128 x^{3} = 54$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $54$ da entrambi i lati dell'equazione.

$128 x^{3} - 54 = 0$

Passaggio 2.4.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Scomponi $2$ da $128 x^{3} - 54$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Scomponi $2$ da $128 x^{3}$ .

$2 (64 x^{3}) - 54 = 0$

Passaggio 2.4.3.1.2

Scomponi $2$ da $- 54$ .

$2 (64 x^{3}) + 2 (- 27) = 0$

Passaggio 2.4.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 (64 x^{3}) + 2 (- 27)$ .

$2 (64 x^{3} - 27) = 0$

Passaggio 2.4.3.2

Riscrivi $64 x^{3}$ come ${(4 x)}^{3}$ .

$2 ({(4 x)}^{3} - 27) = 0$

Passaggio 2.4.3.3

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$2 ({(4 x)}^{3} - 3^{3}) = 0$

Passaggio 2.4.3.4

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 4 x$ e $b = 3$ .

$2 ((4 x - 3) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Passaggio 2.4.3.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.5.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 x$ .

$2 ((4 x - 3) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Passaggio 2.4.3.5.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Passaggio 2.4.3.5.1.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 3^{2})) = 0$

Passaggio 2.4.3.5.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9)) = 0$

Passaggio 2.4.3.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$

Passaggio 2.4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

Passaggio 2.4.5

Imposta $4 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Imposta $4 x - 3$ uguale a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Passaggio 2.4.5.2

Risolvi $4 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 3$

Passaggio 2.4.5.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 3$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 2.4.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 2.4.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Passaggio 2.4.6

Imposta $16 x^{2} + 12 x + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Imposta $16 x^{2} + 12 x + 9$ uguale a $0$ .

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

Passaggio 2.4.6.2

Risolvi $16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 16$ , $b = 12$ e $c = 9$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.3.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 64$ per $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.3

Sottrai $576$ da $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 432$ come $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (432)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.7

Riscrivi $432$ come $12^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.3.1.7.1

Scomponi $144$ da $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.7.2

Riscrivi $144$ come $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.9

Sposta $12$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Passaggio 2.4.6.2.3.3

Semplifica $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.4.6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.4.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 64$ per $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.3

Sottrai $576$ da $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.4

Riscrivi $- 432$ come $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (432)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.7

Riscrivi $432$ come $12^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.4.1.7.1

Scomponi $144$ da $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.7.2

Riscrivi $144$ come $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.4.1.9

Sposta $12$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Passaggio 2.4.6.2.4.3

Semplifica $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.4.6.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.4.6.2.4.5

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.4.6.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{8}$

Passaggio 2.4.6.2.4.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{8}$

Passaggio 2.4.6.2.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.4.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.5.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 64$ per $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.3

Sottrai $576$ da $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.4

Riscrivi $- 432$ come $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (432)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.7

Riscrivi $432$ come $12^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.5.1.7.1

Scomponi $144$ da $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.7.2

Riscrivi $144$ come $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.5.1.9

Sposta $12$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.4.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Passaggio 2.4.6.2.5.3

Semplifica $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.4.6.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.4.6.2.5.5

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.4.6.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{8}$

Passaggio 2.4.6.2.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{8}$

Passaggio 2.4.6.2.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.4.6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$ vera.

$x = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{54}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 128 (- 1) - \frac{54}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $128$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 128 - \frac{54}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - 128 - \frac{54}{1}$

Passaggio 6.2.1.3

Dividi $54$ per $1$ .

$f' (- 1) = - 128 - 1 \cdot 54$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $54$ .

$f' (- 1) = - 128 - 54$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $54$ da $- 128$ .

$f' (- 1) = - 182$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 182$ .

$- 182$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 182$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{3}{4})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.375$ nell'espressione.

$f' (0.375) = 128 (0.375) - \frac{54}{{(0.375)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $128$ per $0.375$ .

$f' (0.375) = 48 - \frac{54}{{(0.375)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $0.375$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.375) = 48 - \frac{54}{0.140625}$

Passaggio 7.2.1.3

Dividi $54$ per $0.140625$ .

$f' (0.375) = 48 - 1 \cdot 384$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $384$ .

$f' (0.375) = 48 - 384$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $384$ da $48$ .

$f' (0.375) = - 336$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 336$ .

$- 336$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 0.375$ la derivata è $- 336$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, \frac{3}{4})$ .

Decrescente su $(0, \frac{3}{4})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{3}{4}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.75$ nell'espressione.

$f' (1.75) = 128 (1.75) - \frac{54}{{(1.75)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $128$ per $1.75$ .

$f' (1.75) = 224 - \frac{54}{{(1.75)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Eleva $1.75$ alla potenza di $2$ .

$f' (1.75) = 224 - \frac{54}{3.0625}$

Passaggio 8.2.1.3

Dividi $54$ per $3.0625$ .

$f' (1.75) = 224 - 1 \cdot 17.63265306$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $17.63265306$ .

$f' (1.75) = 224 - 17.63265306$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $17.63265306$ da $224$ .

$f' (1.75) = 206.36734693$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $206.36734693$ .

$206.36734693$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1.75$ la derivata è $206.36734693$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(\frac{3}{4}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{3}{4}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(\frac{3}{4}, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 0), (0, \frac{3}{4})$

Passaggio 10