Calcolo Esempi

$f (x) = x {(2 x - 3)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi ${(2 x - 3)}^{2}$ come $(2 x - 3) (2 x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((2 x - 3) (2 x - 3))]$

Passaggio 1.1.2

Espandi $(2 x - 3) (2 x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3))]$

Passaggio 1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3))]$

Passaggio 1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 1.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 1.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 1.1.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 1.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 1.1.3.1.6

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9)]$

Passaggio 1.1.3.2

Sottrai $6 x$ da $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 12 x + 9)]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .

$x \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x + 9] + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 12 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.5

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (8 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.7

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$x (8 x - 12 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.8

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (8 x - 12 + 0) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.9

Somma $8 x - 12$ e $0$ .

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \cdot 1$

Passaggio 1.1.5.11

Moltiplica $4 x^{2} - 12 x + 9$ per $1$ .

$x (8 x - 12) + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (8 x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Passaggio 1.1.6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$8 (x^{1} x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Passaggio 1.1.6.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$8 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Passaggio 1.1.6.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 x^{1 + 1} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Passaggio 1.1.6.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$8 x^{2} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Passaggio 1.1.6.2.5

Sposta $- 12$ alla sinistra di $x$ .

$8 x^{2} - 12 \cdot x + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Passaggio 1.1.6.2.6

Somma $8 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 12 x - 12 x + 9$

Passaggio 1.1.6.2.7

Sottrai $12 x$ da $- 12 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 9$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} - 24 x + 9$ .

$12 x^{2} - 24 x + 9$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $3$ da $12 x^{2} - 24 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $3$ da $12 x^{2}$ .

$3 (4 x^{2}) - 24 x + 9 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $3$ da $- 24 x$ .

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 9 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $3$ da $9$ .

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 3 (3) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $3$ da $3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x)$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $3$ da $3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3)$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ e la cui somma è $b = - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Scomponi $- 8$ da $- 8 x$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 8$ come $- 2$ più $- 6$ .

$3 (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$3 ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$3 (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$3 ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $2 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{1}{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.5$ nell'espressione.

$f' (- 0.5) = 12 {(- 0.5)}^{2} - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.5) = 12 \cdot 0.25 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $12$ per $0.25$ .

$f' (- 0.5) = 3 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 24$ per $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = 3 + 12 + 9$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $3$ e $12$ .

$f' (- 0.5) = 15 + 9$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $15$ e $9$ .

$f' (- 0.5) = 24$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $24$ .

$24$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 0.5$ la derivata è $24$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, \frac{1}{2})$ .

Crescente su $(- \infty, \frac{1}{2})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0.5, \frac{3}{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 9$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 9$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 \cdot 1 + 9$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 + 9$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $24$ da $12$ .

$f' (1) = - 12 + 9$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 12$ e $9$ .

$f' (1) = - 3$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0.5, \frac{3}{2})$ .

Decrescente su $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{3}{2}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.5$ nell'espressione.

$f' (2.5) = 12 {(2.5)}^{2} - 24 \cdot 2.5 + 9$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2.5$ alla potenza di $2$ .

$f' (2.5) = 12 \cdot 6.25 - 24 \cdot 2.5 + 9$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $12$ per $6.25$ .

$f' (2.5) = 75 - 24 \cdot 2.5 + 9$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 24$ per $2.5$ .

$f' (2.5) = 75 - 60 + 9$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $60$ da $75$ .

$f' (2.5) = 15 + 9$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $15$ e $9$ .

$f' (2.5) = 24$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $24$ .

$24$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 2.5$ la derivata è $24$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{3}{2}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{3}{2}, \infty)$

Decrescente su: $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

Passaggio 9