Calcolo Esempi

$f (x) = 8 x^{3} + 7 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{3} + 7 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$24 x^{2} + 7 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $7$ per $1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 7$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $24 x^{2} + 7$ .

$24 x^{2} + 7$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $24 x^{2} + 7 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$24 x^{2} + 7 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$24 x^{2} = - 7$

Passaggio 2.3

Dividi per $24$ ciascun termine in $24 x^{2} = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $24$ ciascun termine in $24 x^{2} = - 7$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{24}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{7}{24}$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$

Passaggio 2.5

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi $- \frac{7}{24}$ come ${(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{24}}$

Passaggio 2.5.1.2

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $7$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{24}}$

Passaggio 2.5.1.3

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $24$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}}$

Passaggio 2.5.1.4

Riordina la frazione $\frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{7}{6})}$

Passaggio 2.5.1.5

Riscrivi $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ come ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}}$

Passaggio 2.5.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{\frac{7}{6}}$

Passaggio 2.5.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{7}{6}}$ come $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Passaggio 2.5.5

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.5.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Passaggio 2.5.5.2

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Passaggio 2.5.5.3

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Passaggio 2.5.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.5.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Passaggio 2.5.5.6

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

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Passaggio 2.5.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.5.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.5.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Passaggio 2.5.5.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6}$

Passaggio 2.5.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.6.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 6}}{6}$

Passaggio 2.5.6.2

Moltiplica $7$ per $6$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$

Passaggio 2.5.7

Moltiplica $\frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1

Moltiplica $\frac{i}{2}$ per $\frac{\sqrt{42}}{6}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 2.5.7.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Passaggio 2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}, - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Nessun punto rende la derivata $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ uguale a $0$ o indefinita. L'intervallo per verificare se $f (x) = 8 x^{3} + 7 x$ è crescente o decrescente è $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ per verificare se il risultato è positivo o negativo. Se è negativo, il grafico è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ . Se è positivo, il grafico è crescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 24 {(1)}^{2} + 7$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 7$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $24$ per $1$ .

$f' (1) = 24 + 7$

Passaggio 5.2.2

Somma $24$ e $7$ .

$f' (1) = 31$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $31$ .

$31$

Passaggio 6

Il risultato della sostituzione di $1$ in $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ è $31$ , che è positivo; quindi, il grafico è crescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

Crescente su $(- \infty, \infty)$ perché $24 x^{2} + 7 > 0$

Passaggio 7

Crescente sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ significa che la funzione è sempre crescente.

Sempre crescente

Passaggio 8