Calcolo Esempi

$f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{8 - x^{2}}$ come ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 8 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8.3

Sposta ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.10

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.14.2

$- 2$ e $\frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.18

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.19

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.20.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.20.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.22

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.23

Moltiplica ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.24

Per scrivere ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.26

Moltiplica ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.26.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.26.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.26.3

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.26.4

Dividi $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.27

Semplifica ${(8 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.28

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.29

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 2 x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{2} = - 8$

Passaggio 2.3.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 8$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Dividi $- 8$ per $- 2$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 2.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $2, - 2$ .

$2, - 2$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{\sqrt{{(- x^{2} + 8)}^{1}}}$

Passaggio 4.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{\sqrt{- x^{2} + 8}}$

Passaggio 4.2

Imposta il denominatore in $\frac{- 2 x^{2} + 8}{\sqrt{- x^{2} + 8}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{- x^{2} + 8} = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{- x^{2} + 8}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- x^{2} + 8}$ come ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica ${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- x^{2} + 8)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Semplifica.

$- x^{2} + 8 = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 8$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 8$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 4.3.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 4.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.3.1

Dividi $- 8$ per $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Passaggio 4.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Passaggio 4.3.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.4.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.4.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 4.3.3.4.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.3.3.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.3.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.4

Imposta il radicando in $\sqrt{- x^{2} + 8}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$- x^{2} + 8 < 0$

Passaggio 4.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} < - 8$

Passaggio 4.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} < - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} < - 8$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} > \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.3.1

Dividi $- 8$ per $- 1$ .

$x^{2} > 8$

Passaggio 4.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{8}$

Passaggio 4.5.4

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | > \sqrt{8}$

Passaggio 4.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.2.1

Semplifica $\sqrt{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.2.1.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$| x | > \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 4.5.4.2.1.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| x | > \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.5.4.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | > | 2 | \sqrt{2}$

Passaggio 4.5.4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$| x | > 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.5.5

Scrivi $| x | > 2 \sqrt{2}$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 4.5.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x > 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.5.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 4.5.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x > 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.5.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x > 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x > 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 4.5.6

Trova l'intersezione di $x > 2 \sqrt{2}$ e $x \geq 0$ .

$x > 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.5.7

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > 2 \sqrt{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > 2 \sqrt{2}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 4.5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.7.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 4.5.7.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 4.5.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.7.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x < - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Passaggio 4.5.7.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ come $- (2 \sqrt{2})$ .

$x < - (2 \sqrt{2})$

Passaggio 4.5.7.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x < - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.5.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$x < - 2 \sqrt{2}$ o $x > 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq - 2 \sqrt{2}, x \geq 2 \sqrt{2}$

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}] \cup [2 \sqrt{2}, \infty)$

$x \leq - 2 \sqrt{2}, x \geq 2 \sqrt{2}$

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}] \cup [2 \sqrt{2}, \infty)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup (- 2 \sqrt{2}, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3.828427$ nell'espressione.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 2 {(- 3.828427)}^{2} + 8}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 3.828427$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 2 \cdot 14.65685329 + 8}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $14.65685329$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 29.31370658 + 8}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.3

Somma $- 29.31370658$ e $8$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Eleva $- 3.828427$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 1 \cdot 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $14.65685329$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 14.65685329$ e $8$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 6.65685329)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi $- 6.65685329$ come ${(2.58008784 i)}^{2}$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{({(2.58008784 i)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 6.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 6.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Passaggio 6.2.2.6

Semplifica.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$ per il coniugato di $2.58008784 i$ per rendere il denominatore reale.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i} \cdot \frac{i}{i}$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Combina.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i i}$

Passaggio 6.2.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

Aggiungi le parentesi.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Passaggio 6.2.4.2.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Passaggio 6.2.4.2.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Passaggio 6.2.4.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{1 + 1}}$

Passaggio 6.2.4.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{2}}$

Passaggio 6.2.4.2.6

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $2.58008784$ per $- 1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{- 2.58008784}$

Passaggio 6.2.6

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$f' (- 3.828427) = \frac{(21.31370658) i}{2.58008784}$

Passaggio 6.2.7

Scomponi $21.31370658$ da $21.31370658 i$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784}$

Passaggio 6.2.8

Scomponi $2.58008784$ da $2.58008784$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784 (1)}$

Passaggio 6.2.9

Frazioni separate.

$f' (- 3.828427) = \frac{21.31370658}{2.58008784} \cdot \frac{i}{1}$

Passaggio 6.2.10

Dividi $21.31370658$ per $2.58008784$ .

$f' (- 3.828427) = 8.26084531 (\frac{i}{1})$

Passaggio 6.2.11

Dividi $i$ per $1$ .

$f' (- 3.828427) = 8.26084531 i$

Passaggio 6.2.12

La risposta finale è $8.26084531 i$ .

$8.26084531 i$

Passaggio 6.3

Con $x = - 3.828427$ la derivata è $8.26084531 i$ . Poiché contiene un numero immaginario, la funzione non esiste su $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ .

La funzione non è reale su $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ poiché $f' (x)$ è immaginario

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2.828427, - 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.4142135$ nell'espressione.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 2 {(- 2.4142135)}^{2} + 8}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 2.4142135$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 2 \cdot 5.82842682 + 8}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $5.82842682$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 11.65685364 + 8}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.3

Somma $- 11.65685364$ e $8$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Eleva $- 2.4142135$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 1 \cdot 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5.82842682$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 5.82842682$ e $8$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{2.17157317}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi $2.17157317$ come ${1.47362586}^{2}$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{({1.47362586}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 7.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 7.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Passaggio 7.2.2.6

Calcola l'esponente.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Passaggio 7.2.3

Dividi $- 3.65685364$ per $1.47362586$ .

$f' (- 2.4142135) = - 2.48153465$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- 2.48153465$ .

$- 2.48153465$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 2.4142135$ la derivata è $- 2.48153465$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 2.828427, - 2)$ .

Decrescente su $(- 2 \sqrt{2}, - 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 8}{{(- {(0)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 8}{{(- 0^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 8}{{(- 0^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.1.3

Somma $0$ e $8$ .

$f' (0) = \frac{8}{{(- 0^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = \frac{8}{{(- 0 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f' (0) = \frac{8}{{(0 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $0$ e $8$ .

$f' (0) = \frac{8}{8^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.3

Sposta $8^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (0) = 8 \cdot 8^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica $8$ per $8^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Moltiplica $8$ per $8^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $1$ .

$f' (0) = 8 \cdot 8^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 8.2.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (0) = 8^{1 - \frac{1}{2}}$

Passaggio 8.2.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (0) = 8^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Passaggio 8.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (0) = 8^{\frac{2 - 1}{2}}$

Passaggio 8.2.4.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$f' (0) = 8^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.2.5

La risposta finale è $8^{\frac{1}{2}}$ .

$8^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $8^{\frac{1}{2}}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 2, 2)$ .

Crescente su $(- 2, 2)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, 2 \sqrt{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.4142135$ nell'espressione.

$f' (2.4142135) = \frac{- 2 {(2.4142135)}^{2} + 8}{{(- {(2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Eleva $2.4142135$ alla potenza di $2$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 2 \cdot 5.82842682 + 8}{{(- {2.4142135}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $5.82842682$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 11.65685364 + 8}{{(- {2.4142135}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.3

Somma $- 11.65685364$ e $8$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- {2.4142135}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Eleva $2.4142135$ alla potenza di $2$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 1 \cdot 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5.82842682$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $- 5.82842682$ e $8$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{2.17157317}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi $2.17157317$ come ${1.47362586}^{2}$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{({1.47362586}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 9.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 9.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Passaggio 9.2.2.6

Calcola l'esponente.

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Passaggio 9.2.3

Dividi $- 3.65685364$ per $1.47362586$ .

$f' (2.4142135) = - 2.48153465$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $- 2.48153465$ .

$- 2.48153465$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 2.4142135$ la derivata è $- 2.48153465$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(2, 2 \sqrt{2})$ .

Decrescente su $(2, 2 \sqrt{2})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2 \sqrt{2}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.828427$ nell'espressione.

$f' (3.828427) = \frac{- 2 {(3.828427)}^{2} + 8}{{(- {(3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Eleva $3.828427$ alla potenza di $2$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 2 \cdot 14.65685329 + 8}{{(- {3.828427}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $14.65685329$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 29.31370658 + 8}{{(- {3.828427}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.1.3

Somma $- 29.31370658$ e $8$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- {3.828427}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $3.828427$ alla potenza di $2$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 1 \cdot 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $14.65685329$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $- 14.65685329$ e $8$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 6.65685329)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.2.3

Riscrivi $- 6.65685329$ come ${(2.58008784 i)}^{2}$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{({(2.58008784 i)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 10.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 10.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Passaggio 10.2.2.6

Semplifica.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$ per il coniugato di $2.58008784 i$ per rendere il denominatore reale.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i} \cdot \frac{i}{i}$

Passaggio 10.2.4

Moltiplica.

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Passaggio 10.2.4.1

Combina.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i i}$

Passaggio 10.2.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.2.1

Aggiungi le parentesi.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Passaggio 10.2.4.2.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Passaggio 10.2.4.2.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Passaggio 10.2.4.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{1 + 1}}$

Passaggio 10.2.4.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{2}}$

Passaggio 10.2.4.2.6

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 \cdot - 1}$

Passaggio 10.2.5

Moltiplica $2.58008784$ per $- 1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{- 2.58008784}$

Passaggio 10.2.6

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$f' (3.828427) = \frac{(21.31370658) i}{2.58008784}$

Passaggio 10.2.7

Scomponi $21.31370658$ da $21.31370658 i$ .

$f' (3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784}$

Passaggio 10.2.8

Scomponi $2.58008784$ da $2.58008784$ .

$f' (3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784 (1)}$

Passaggio 10.2.9

Frazioni separate.

$f' (3.828427) = \frac{21.31370658}{2.58008784} \cdot \frac{i}{1}$

Passaggio 10.2.10

Dividi $21.31370658$ per $2.58008784$ .

$f' (3.828427) = 8.26084531 (\frac{i}{1})$

Passaggio 10.2.11

Dividi $i$ per $1$ .

$f' (3.828427) = 8.26084531 i$

Passaggio 10.2.12

La risposta finale è $8.26084531 i$ .

$8.26084531 i$

Passaggio 10.3

Con $x = 3.828427$ la derivata è $8.26084531 i$ . Poiché contiene un numero immaginario, la funzione non esiste su $(2 \sqrt{2}, \infty)$ .

La funzione non è reale su $(2 \sqrt{2}, \infty)$ poiché $f' (x)$ è immaginario

Passaggio 11

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 2, 2)$

Decrescente su: $(- 2 \sqrt{2}, - 2), (2, 2 \sqrt{2})$

Passaggio 12