Calcolo Esempi

$f (x) = 7 x^{2} - 5$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$14 x + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $14 x$ e $0$ .

$f' (x) = 14 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $14 x$ .

$14 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $14 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$14 x = 0$

Passaggio 2.2

Dividi per $14$ ciascun termine in $14 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $14$ ciascun termine in $14 x = 0$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{14}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Dividi $0$ per $14$ .

$x = 0$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = 14 x$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = 7 x^{2} - 5$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 14 (- 1)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $14$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 14$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $- 14$ .

$- 14$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 14$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 14 (1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $14$ per $1$ .

$f' (1) = 14$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $14$ .

$14$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $14$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 0)$

Passaggio 8