Calcolo Esempi

$f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{16 - x^{2}}$ come ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 16 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $16 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $16 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8.3

Sposta ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.10

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.14.2

$- 2$ e $\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.18

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.19

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.20.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.20.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.22

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.23

Moltiplica ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.24

Per scrivere ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.26

Moltiplica ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.26.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.26.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.26.3

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.26.4

Dividi $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.27

Semplifica ${(16 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.28

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.29

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 2 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{2} = - 16$

Passaggio 2.3.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 16$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 16}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 16}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Dividi $- 16$ per $- 2$ .

$x^{2} = 8$

Passaggio 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 2.3.4.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.3.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Passaggio 2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 \sqrt{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{- 2 x^{2} + 16}{\sqrt{{(- x^{2} + 16)}^{1}}}$

Passaggio 4.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{- 2 x^{2} + 16}{\sqrt{- x^{2} + 16}}$

Passaggio 4.2

Imposta il denominatore in $\frac{- 2 x^{2} + 16}{\sqrt{- x^{2} + 16}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{- x^{2} + 16} = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{- x^{2} + 16}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- x^{2} + 16}$ come ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica ${({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- x^{2} + 16)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Semplifica.

$- x^{2} + 16 = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 16$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 16$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 4.3.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 4.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.3.1

Dividi $- 16$ per $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Passaggio 4.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Passaggio 4.3.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{16}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.4.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 4.3.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 4$

Passaggio 4.3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 4$

Passaggio 4.3.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 4$

Passaggio 4.3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 4, - 4$

Passaggio 4.4

Imposta il radicando in $\sqrt{- x^{2} + 16}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$- x^{2} + 16 < 0$

Passaggio 4.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} < - 16$

Passaggio 4.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} < - 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} < - 16$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} > \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.3.1

Dividi $- 16$ per $- 1$ .

$x^{2} > 16$

Passaggio 4.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{16}$

Passaggio 4.5.4

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | > \sqrt{16}$

Passaggio 4.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.2.1

Semplifica $\sqrt{16}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.2.1.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$| x | > \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 4.5.4.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | > | 4 |$

Passaggio 4.5.4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$| x | > 4$

Passaggio 4.5.5

Scrivi $| x | > 4$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 4.5.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x > 4$

Passaggio 4.5.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 4.5.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x > 4$

Passaggio 4.5.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x > 4 & x \geq 0 \\ - x > 4 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 4.5.6

Trova l'intersezione di $x > 4$ e $x \geq 0$ .

$x > 4$

Passaggio 4.5.7

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > 4$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{4}{- 1}$

Passaggio 4.5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.7.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{4}{- 1}$

Passaggio 4.5.7.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{4}{- 1}$

Passaggio 4.5.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.7.3.1

Dividi $4$ per $- 1$ .

$x < - 4$

Passaggio 4.5.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$x < - 4$ o $x > 4$

Passaggio 4.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq - 4, x \geq 4$

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

$x \leq - 4, x \geq 4$

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 2 \sqrt{2}) \cup (- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f' (- 5) = \frac{- 2 {(- 5)}^{2} + 16}{{(- {(- 5)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = \frac{- 2 \cdot 25 + 16}{{(- {(- 5)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $25$ .

$f' (- 5) = \frac{- 50 + 16}{{(- {(- 5)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.3

Somma $- 50$ e $16$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(- {(- 5)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(- 1 \cdot 25 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(- 25 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 25$ e $16$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(- 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi $- 9$ come ${(3 i)}^{2}$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{({(3 i)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(3 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 6.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 5) = \frac{- 34}{{(3 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 6.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 5) = \frac{- 34}{3 i}$

Passaggio 6.2.2.6

Semplifica.

$f' (- 5) = \frac{- 34}{3 i}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{- 34}{3 i}$ per il coniugato di $3 i$ per rendere il denominatore reale.

$f' (- 5) = \frac{- 34}{3 i} \cdot \frac{i}{i}$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Combina.

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 i i}$

Passaggio 6.2.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

Aggiungi le parentesi.

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Passaggio 6.2.4.2.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Passaggio 6.2.4.2.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Passaggio 6.2.4.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 i^{1 + 1}}$

Passaggio 6.2.4.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 i^{2}}$

Passaggio 6.2.4.2.6

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{3 \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (- 5) = \frac{- 34 i}{- 3}$

Passaggio 6.2.6

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$f' (- 5) = \frac{34 i}{3}$

Passaggio 6.2.7

La risposta finale è $\frac{34 i}{3}$ .

$\frac{34 i}{3}$

Passaggio 6.3

Con $x = - 5$ la derivata è $\frac{34 i}{3}$ . Poiché contiene un numero immaginario, la funzione non esiste su $(- \infty, - 4)$ .

La funzione non è reale su $(- \infty, - 4)$ poiché $f' (x)$ è immaginario

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 4, - 2 \sqrt{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3.4142135$ nell'espressione.

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 2 {(- 3.4142135)}^{2} + 16}{{(- {(- 3.4142135)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 3.4142135$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 2 \cdot 11.65685382 + 16}{{(- {(- 3.4142135)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $11.65685382$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 23.31370764 + 16}{{(- {(- 3.4142135)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.3

Somma $- 23.31370764$ e $16$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- {(- 3.4142135)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Eleva $- 3.4142135$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- 1 \cdot 11.65685382 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $11.65685382$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- 11.65685382 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 11.65685382$ e $16$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{4.34314617}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi $4.34314617$ come ${2.08402163}^{2}$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{({2.08402163}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{2.08402163}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 7.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{2.08402163}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 7.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{2.08402163}$

Passaggio 7.2.2.6

Calcola l'esponente.

$f' (- 3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{2.08402163}$

Passaggio 7.2.3

Dividi $- 7.31370764$ per $2.08402163$ .

$f' (- 3.4142135) = - 3.50942021$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- 3.50942021$ .

$- 3.50942021$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 3.4142135$ la derivata è $- 3.50942021$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 4, - 2 \sqrt{2})$ .

Decrescente su $(- 4, - 2 \sqrt{2})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2.828427, 2 \sqrt{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 16}{{(- {(0)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 16}{{(- 0^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 16}{{(- 0^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.1.3

Somma $0$ e $16$ .

$f' (0) = \frac{16}{{(- 0^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = \frac{16}{{(- 0 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f' (0) = \frac{16}{{(0 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $0$ e $16$ .

$f' (0) = \frac{16}{16^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f' (0) = \frac{16}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{16}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 8.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (0) = \frac{16}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 8.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (0) = \frac{16}{4}$

Passaggio 8.2.2.6

Calcola l'esponente.

$f' (0) = \frac{16}{4}$

Passaggio 8.2.3

Dividi $16$ per $4$ .

$f' (0) = 4$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $4$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 2.828427, 2 \sqrt{2})$ .

Crescente su $(- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2.828427, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.4142135$ nell'espressione.

$f' (3.4142135) = \frac{- 2 {(3.4142135)}^{2} + 16}{{(- {(3.4142135)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Eleva $3.4142135$ alla potenza di $2$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 2 \cdot 11.65685382 + 16}{{(- {3.4142135}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $11.65685382$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 23.31370764 + 16}{{(- {3.4142135}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.3

Somma $- 23.31370764$ e $16$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- {3.4142135}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Eleva $3.4142135$ alla potenza di $2$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- 1 \cdot 11.65685382 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $11.65685382$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{(- 11.65685382 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $- 11.65685382$ e $16$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{4.34314617}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi $4.34314617$ come ${2.08402163}^{2}$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{({2.08402163}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{2.08402163}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 9.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{{2.08402163}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 9.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{2.08402163}$

Passaggio 9.2.2.6

Calcola l'esponente.

$f' (3.4142135) = \frac{- 7.31370764}{2.08402163}$

Passaggio 9.2.3

Dividi $- 7.31370764$ per $2.08402163$ .

$f' (3.4142135) = - 3.50942021$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $- 3.50942021$ .

$- 3.50942021$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 3.4142135$ la derivata è $- 3.50942021$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(2.828427, 4)$ .

Decrescente su $(2 \sqrt{2}, 4)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = \frac{- 2 {(5)}^{2} + 16}{{(- {(5)}^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = \frac{- 2 \cdot 25 + 16}{{(- 5^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $25$ .

$f' (5) = \frac{- 50 + 16}{{(- 5^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.1.3

Somma $- 50$ e $16$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{(- 5^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{(- 1 \cdot 25 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{(- 25 + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $- 25$ e $16$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{(- 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.2.3

Riscrivi $- 9$ come ${(3 i)}^{2}$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{({(3 i)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (5) = \frac{- 34}{{(3 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 10.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (5) = \frac{- 34}{{(3 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 10.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (5) = \frac{- 34}{3 i}$

Passaggio 10.2.2.6

Semplifica.

$f' (5) = \frac{- 34}{3 i}$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{- 34}{3 i}$ per il coniugato di $3 i$ per rendere il denominatore reale.

$f' (5) = \frac{- 34}{3 i} \cdot \frac{i}{i}$

Passaggio 10.2.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.1

Combina.

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 i i}$

Passaggio 10.2.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.2.1

Aggiungi le parentesi.

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Passaggio 10.2.4.2.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Passaggio 10.2.4.2.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 (i i)}$

Passaggio 10.2.4.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 i^{1 + 1}}$

Passaggio 10.2.4.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 i^{2}}$

Passaggio 10.2.4.2.6

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$f' (5) = \frac{- 34 i}{3 \cdot - 1}$

Passaggio 10.2.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (5) = \frac{- 34 i}{- 3}$

Passaggio 10.2.6

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$f' (5) = \frac{34 i}{3}$

Passaggio 10.2.7

La risposta finale è $\frac{34 i}{3}$ .

$\frac{34 i}{3}$

Passaggio 10.3

Con $x = 5$ la derivata è $\frac{34 i}{3}$ . Poiché contiene un numero immaginario, la funzione non esiste su $(4, \infty)$ .

La funzione non è reale su $(4, \infty)$ poiché $f' (x)$ è immaginario

Passaggio 11

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$

Decrescente su: $(- 4, - 2 \sqrt{2}), (2 \sqrt{2}, 4)$

Passaggio 12