Calcolo Esempi

$f (x) = 19 x + \frac{1}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $19 x + \frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [19 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (19 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [19 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $19$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $19 x$ rispetto a $x$ è $19 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 19 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 19 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $19$ per $1$ .

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 19 - x^{- 2}$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 19 - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 19$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{x^{2}} + 19$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 19$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $19$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 19$

Passaggio 2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{2}, 1$

Passaggio 2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 2.4

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ per $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - 19 x^{2}$

Passaggio 2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 19 x^{2} = - 1$ .

$- 19 x^{2} = - 1$

Passaggio 2.5.2

Dividi per $- 19$ ciascun termine in $- 19 x^{2} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $- 19$ ciascun termine in $- 19 x^{2} = - 1$ .

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

Passaggio 2.5.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 19}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x^{2} = \frac{1}{19}$

Passaggio 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{19}}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{19}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{19}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$

Passaggio 2.5.4.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}}$

Passaggio 2.5.4.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{19}}$ per $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Passaggio 2.5.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{19}}$ per $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Passaggio 2.5.4.4.2

Eleva $\sqrt{19}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} \sqrt{19}}$

Passaggio 2.5.4.4.3

Eleva $\sqrt{19}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} {\sqrt{19}}^{1}}$

Passaggio 2.5.4.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.5.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{19}}^{2}$ come $19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{19}$ come $19^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.5.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{1}}$

Passaggio 2.5.4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19}$

Passaggio 2.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}$

Passaggio 2.5.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Passaggio 2.5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$ .

$\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.22941573$ nell'espressione.

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{{(- 1.22941573)}^{2}} + 19$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.22941573$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $1$ per $1.51146303$ .

$f' (- 1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0.66161062$ .

$f' (- 1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 0.66161062$ e $19$ .

$f' (- 1.22941573) = 18.33838937$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $18.33838937$ .

$18.33838937$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1.22941573$ la derivata è $18.33838937$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 0.22941573, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.11470786$ nell'espressione.

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{{(- 0.11470786)}^{2}} + 19$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 0.11470786$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $1$ per $0.01315789$ .

$f' (- 0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $76.00000256$ .

$f' (- 0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 76.00000256$ e $19$ .

$f' (- 0.11470786) = - 57.00000256$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 57.00000256$ .

$- 57.00000256$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 0.11470786$ la derivata è $- 57.00000256$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 0.22941573, 0)$ .

Decrescente su $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.11470786$ nell'espressione.

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{{(0.11470786)}^{2}} + 19$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.11470786$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $1$ per $0.01315789$ .

$f' (0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $76.00000256$ .

$f' (0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

Passaggio 8.2.2

Somma $- 76.00000256$ e $19$ .

$f' (0.11470786) = - 57.00000256$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 57.00000256$ .

$- 57.00000256$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 0.11470786$ la derivata è $- 57.00000256$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ .

Decrescente su $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.22941573$ nell'espressione.

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{{(1.22941573)}^{2}} + 19$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Eleva $1.22941573$ alla potenza di $2$ .

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

Passaggio 9.2.1.2

Dividi $1$ per $1.51146303$ .

$f' (1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

Passaggio 9.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0.66161062$ .

$f' (1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 0.66161062$ e $19$ .

$f' (1.22941573) = 18.33838937$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $18.33838937$ .

$18.33838937$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 1.22941573$ la derivata è $18.33838937$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}), (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

Decrescente su: $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0), (0, \frac{\sqrt{19}}{19})$

Passaggio 11