Calcolo Esempi

$f (x) = - 12 x^{5} + 105 x^{4} - 240 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 12 x^{5} + 105 x^{4} - 240 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [105 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{5}) + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f' (x) = - 12 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $5$ per $- 12$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [105 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $105$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $105 x^{4}$ rispetto a $x$ è $105 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 105 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 105 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $105$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 240 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 240$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 240 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 240 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} - 240 \frac{d}{d x} x^{3}$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} - 240 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $3$ per $- 240$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$ .

$- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $- 60 x^{2}$ da $- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $- 60 x^{2}$ da $- 60 x^{4}$ .

$- 60 x^{2} x^{2} + 420 x^{3} - 720 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $- 60 x^{2}$ da $420 x^{3}$ .

$- 60 x^{2} x^{2} - 60 x^{2} (- 7 x) - 720 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $- 60 x^{2}$ da $- 720 x^{2}$ .

$- 60 x^{2} x^{2} - 60 x^{2} (- 7 x) - 60 x^{2} \cdot 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $- 60 x^{2}$ da $- 60 x^{2} (x^{2}) - 60 x^{2} (- 7 x)$ .

$- 60 x^{2} (x^{2} - 7 x) - 60 x^{2} \cdot 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $- 60 x^{2}$ da $- 60 x^{2} (x^{2} - 7 x) - 60 x^{2} (12)$ .

$- 60 x^{2} (x^{2} - 7 x + 12) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 7 x + 12$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $12$ e la cui somma è $- 7$ .

$- 4, - 3$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 60 x^{2} ((x - 4) (x - 3)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 60 x^{2} (x - 4) (x - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 60 x^{2} (x - 4) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, 4, 3$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 4, 3$ .

$0, 4, 3$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - 60 {(- 1)}^{4} + 420 {(- 1)}^{3} - 720 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 1) = - 60 \cdot 1 + 420 {(- 1)}^{3} - 720 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

$f' (- 1) = - 60 + 420 {(- 1)}^{3} - 720 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = - 60 + 420 \cdot - 1 - 720 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $420$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 60 - 420 - 720 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - 60 - 420 - 720 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica $- 720$ per $1$ .

$f' (- 1) = - 60 - 420 - 720$

Passaggio 5.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $420$ da $- 60$ .

$f' (- 1) = - 480 - 720$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $720$ da $- 480$ .

$f' (- 1) = - 1200$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 1200$ .

$- 1200$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 1200$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 {(\frac{3}{2})}^{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 \frac{81}{2^{4}} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 (\frac{81}{16}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $- 60$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (- 15) (\frac{81}{16}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4.2

Scomponi $4$ da $16$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{81}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{81}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = - 15 (\frac{81}{4}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

$- 15$ e $\frac{81}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 15 \cdot 81}{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $- 15$ per $81$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215}{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.9

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 (\frac{27}{2^{3}}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 (\frac{27}{8}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.11

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.11.1

Scomponi $4$ da $420$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 4 (105) (\frac{27}{8}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.11.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.11.3

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.11.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 105 (\frac{27}{2}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.12

$105$ e $\frac{27}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{105 \cdot 27}{2} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.13

Moltiplica $105$ per $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.14

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 6.2.1.15

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 \frac{9}{2^{2}}$

Passaggio 6.2.1.16

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 (\frac{9}{4})$

Passaggio 6.2.1.17

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.17.1

Scomponi $4$ da $- 720$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} + 4 (- 180) (\frac{9}{4})$

Passaggio 6.2.1.17.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} + 4 \cdot (- 180 (\frac{9}{4}))$

Passaggio 6.2.1.17.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 180 \cdot 9$

Passaggio 6.2.1.18

Moltiplica $- 180$ per $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 1620$

Passaggio 6.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $\frac{2835}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} \cdot \frac{2}{2} - 1620$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $\frac{2835}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 1620$

Passaggio 6.2.2.3

Scrivi $- 1620$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1620}{1}$

Passaggio 6.2.2.4

Moltiplica $\frac{- 1620}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1620}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 6.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 1620}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1620 \cdot 4}{4}$

Passaggio 6.2.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{4} + \frac{- 1620 \cdot 4}{4}$

Passaggio 6.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 2835 \cdot 2 - 1620 \cdot 4}{4}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $2835$ per $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 5670 - 1620 \cdot 4}{4}$

Passaggio 6.2.4.2

Moltiplica $- 1620$ per $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 5670 - 6480}{4}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Somma $- 1215$ e $5670$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{4455 - 6480}{4}$

Passaggio 6.2.5.2

Sottrai $6480$ da $4455$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 2025}{4}$

Passaggio 6.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{2025}{4}$

Passaggio 6.2.6

La risposta finale è $- \frac{2025}{4}$ .

$- \frac{2025}{4}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = \frac{3}{2}$ la derivata è $- \frac{2025}{4}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 3)$ .

Decrescente su $(0, 3)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 {(\frac{7}{2})}^{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 \frac{7^{4}}{2^{4}} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $4$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 \frac{2401}{2^{4}} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 (\frac{2401}{16}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $- 60$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 4 (- 15) (\frac{2401}{16}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4.2

Scomponi $4$ da $16$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{2401}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{7}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{2401}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{7}{2}) = - 15 (\frac{2401}{4}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5

$- 15$ e $\frac{2401}{4}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 15 \cdot 2401}{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.6

Moltiplica $- 15$ per $2401$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015}{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 (\frac{7^{3}}{2^{3}}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.9

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 (\frac{343}{2^{3}}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 (\frac{343}{8}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.11

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.11.1

Scomponi $4$ da $420$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 4 (105) (\frac{343}{8}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.11.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{343}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.11.3

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{343}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.11.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 105 (\frac{343}{2}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.12

$105$ e $\frac{343}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{105 \cdot 343}{2} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.13

Moltiplica $105$ per $343$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.14

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 \frac{7^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 7.2.1.15

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 \frac{49}{2^{2}}$

Passaggio 7.2.1.16

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 (\frac{49}{4})$

Passaggio 7.2.1.17

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.17.1

Scomponi $4$ da $- 720$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} + 4 (- 180) (\frac{49}{4})$

Passaggio 7.2.1.17.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} + 4 \cdot (- 180 (\frac{49}{4}))$

Passaggio 7.2.1.17.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 180 \cdot 49$

Passaggio 7.2.1.18

Moltiplica $- 180$ per $49$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 8820$

Passaggio 7.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Moltiplica $\frac{36015}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} \cdot \frac{2}{2} - 8820$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $\frac{36015}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 8820$

Passaggio 7.2.2.3

Scrivi $- 8820$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 8820}{1}$

Passaggio 7.2.2.4

Moltiplica $\frac{- 8820}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 8820}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 7.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 8820}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 8820 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.2.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{4} + \frac{- 8820 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015 + 36015 \cdot 2 - 8820 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Moltiplica $36015$ per $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015 + 72030 - 8820 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.2.4.2

Moltiplica $- 8820$ per $4$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015 + 72030 - 35280}{4}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Somma $- 36015$ e $72030$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{36015 - 35280}{4}$

Passaggio 7.2.5.2

Sottrai $35280$ da $36015$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{735}{4}$

Passaggio 7.2.6

La risposta finale è $\frac{735}{4}$ .

$\frac{735}{4}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = \frac{7}{2}$ la derivata è $\frac{735}{4}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(3, 4)$ .

Crescente su $(3, 4)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = - 60 {(5)}^{4} + 420 {(5)}^{3} - 720 {(5)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$f' (5) = - 60 \cdot 625 + 420 {(5)}^{3} - 720 {(5)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 60$ per $625$ .

$f' (5) = - 37500 + 420 {(5)}^{3} - 720 {(5)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f' (5) = - 37500 + 420 \cdot 125 - 720 {(5)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $420$ per $125$ .

$f' (5) = - 37500 + 52500 - 720 {(5)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = - 37500 + 52500 - 720 \cdot 25$

Passaggio 8.2.1.6

Moltiplica $- 720$ per $25$ .

$f' (5) = - 37500 + 52500 - 18000$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Somma $- 37500$ e $52500$ .

$f' (5) = 15000 - 18000$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $18000$ da $15000$ .

$f' (5) = - 3000$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 3000$ .

$- 3000$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 5$ la derivata è $- 3000$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(4, \infty)$ .

Decrescente su $(4, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(3, 4)$

Decrescente su: $(- \infty, 0), (0, 3), (4, \infty)$

Passaggio 10